Exercice 1 : Comparaisons théoriques
D'après le cours sur la croissance comparée, ranger dans l'ordre croissant les fonctions \(x \mapsto x\), \(x \mapsto x^2\) et \(x \mapsto \sqrt{x}\) sur les intervalles suivants :
- Sur l'intervalle \(\left[ 0 ; 1 \right]\).
- Sur l'intervalle \(\left[ 1 ; +\infty \right[\).
1. Sur \(\left[ 0 ; 1 \right]\) :
D'après le cours, sur cet intervalle, la fonction racine carrée est "au-dessus" de la droite \(y = x\), qui est elle-même "au-dessus" de la parabole.
On a donc l'ordre croissant suivant : \( x^2 \le x \le \sqrt{x} \).
2. Sur \(\left[ 1 ; +\infty \right[\) :
Sur cet intervalle, les positions relatives s'inversent. La parabole croît plus vite que la droite, qui croît plus vite que la courbe de la racine carrée.
On a donc l'ordre croissant suivant : \( \sqrt{x} \le x \le x^2 \).
Exercice 2 : Application numérique
Sans utiliser de calculatrice, comparer les nombres suivants en justifiant par les propriétés de croissance comparée :
- \(0,4\), \(0,4^2\) et \(\sqrt{0,4}\).
- \(\dfrac{3}{2}\), \(\left( \dfrac{3}{2} \right)^2\) et \(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\).
1. Comparaison pour \(x = 0,4\) :
On remarque que \(0,4 \in \left[ 0 ; 1 \right]\).
Sur cet intervalle, on sait que \(x^2 \le x \le \sqrt{x}\).
donc \( 0,4^2 < 0,4 < \sqrt{0,4} \).
2. Comparaison pour \(x = \dfrac{3}{2} = 1,5\) :
On remarque que \(\dfrac{3}{2} > 1\), donc \(x \in \left[ 1 ; +\infty \right[\).
Sur cet intervalle, on sait que \(\sqrt{x} \le x \le x^2\).
donc \( \sqrt{\dfrac{3}{2}} < \dfrac{3}{2} < \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \).
Exercice 3 : Positions relatives et signe
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}^+\) par \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\).
- Étudier le signe de la différence \(d(x) = f(x) - g(x)\) sur \(\mathbb{R}^+\).
- En déduire la position relative de la parabole \(\mathcal{C}_f\) par rapport à la droite \(\mathcal{C}_g\).
1. Signe de \(d(x) = x^2 - x\) :
On peut factoriser l'expression : \(d(x) = x \left( x - 1 \right)\).
Cherchons les racines : \(d(x) = 0\) donc \(x = 0\) ou \(x = 1\).
Puisque \(x \ge 0\), le signe de \(d(x)\) dépend uniquement de celui de \(x - 1\) :
- Sur \(\left[ 0 ; 1 \right]\), \(x - 1 \le 0\), donc \(d(x) \le 0\).
- Sur \(\left[ 1 ; +\infty \right[\), \(x - 1 \ge 0\), donc \(d(x) \ge 0\).
2. Positions relatives :
- Si \(d(x) \le 0\), alors \(f(x) \le g(x)\). La parabole \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de la droite \(\mathcal{C}_g\) sur \(\left[ 0 ; 1 \right]\).
- Si \(d(x) \ge 0\), alors \(f(x) \ge g(x)\). La parabole \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite \(\mathcal{C}_g\) sur \(\left[ 1 ; +\infty \right[\).
Exercice 4 : Extension à la fonction cube
En utilisant un raisonnement similaire à celui du cours, comparer \(x^2\) et \(x^3\) sur l'intervalle \(\left[ 0 ; 1 \right]\) puis sur \(\left[ 1 ; +\infty \right[\).
Étudions le signe de la différence \(x^3 - x^2\).
On a \(x^3 - x^2 = x^2 \left( x - 1 \right)\).
Le terme \(x^2\) est toujours positif ou nul.
Sur \(\left[ 0 ; 1 \right]\) :
On a \(x \le 1\), donc \(x - 1 \le 0\).
Par produit, \(x^2 \left( x - 1 \right) \le 0\), donc \(x^3 \le x^2\).
Le cube d'un nombre entre \(0\) et \(1\) est inférieur à son carré.
Sur \(\left[ 1 ; +\infty \right[\) :
On a \(x \ge 1\), donc \(x - 1 \ge 0\).
Par produit, \(x^2 \left( x - 1 \right) \ge 0\), donc \(x^3 \ge x^2\).
Le cube d'un nombre supérieur à \(1\) est supérieur à son carré.
Exercice 5 : Résolution d'inéquations
Résoudre dans \(\mathbb{R}^+\) les inéquations suivantes en utilisant les propriétés de croissance comparée :
- \(\sqrt{x} \ge x\)
- \(x^2 > x\)
1. Résolution de \(\sqrt{x} \ge x\) :
D'après le cours, la courbe de la fonction racine carrée est située au-dessus de la droite \(y = x\) uniquement sur l'intervalle \(\left[ 0 ; 1 \right]\).
L'ensemble des solutions est \( S = \left[ 0 ; 1 \right] \).
2. Résolution de \(x^2 > x\) :
D'après le cours, la parabole est strictement au-dessus de la droite \(y = x\) uniquement pour les valeurs strictement supérieures à \(1\) (sur \(\mathbb{R}^+\)).
En effet, pour \(x = 0\) et \(x = 1\), on a l'égalité.
L'ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}^+\) est \( S = \left] 1 ; +\infty \right[ \).