Exercice 1 : Calculs et ensemble de définition
Soit \(f\) la fonction racine carrée définie sur \(\left[ 0 ; +\infty \right[\) par \(f(x) = \sqrt{x}\).
- Calculer les images de \(\dfrac{49}{16}\), de \(121\) et de \(\left( \sqrt{5} \right)^2\).
- Déterminer l'antécédent de \(8\) et celui de \(\dfrac{2}{3}\).
- Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \sqrt{x - 4}\).
1. Images :
\(f\left( \dfrac{49}{16} \right) = \sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \) \( \dfrac{7}{4} \).
\(f(121) = \sqrt{121} = \) \( 11 \).
\(f\left( \left( \sqrt{5} \right)^2 \right) = \sqrt{5} = \) \( \sqrt{5} \).
2. Antécédents :
L'antécédent de \(8\) est la valeur \(x\) telle que \(\sqrt{x} = 8\), donc \(x = 8^2 = \) \( 64 \).
L'antécédent de \(\dfrac{2}{3}\) est la valeur \(x\) telle que \(\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}\), donc \(x = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \) \( \dfrac{4}{9} \).
3. Ensemble de définition de \(g\) :
La fonction racine carrée est définie pour des valeurs positives ou nulles.
On doit donc avoir \(x - 4 \ge 0\), donc \(x \ge 4\).
L'ensemble de définition est donc \( D_g = \left[ 4 ; +\infty \right[ \).
Exercice 2 : Dérivation et variations
Soit \(f\) la fonction racine carrée définie sur \(\left[ 0 ; +\infty \right[\).
- Donner l'expression de la dérivée \(f'(x)\) et son ensemble de dérivabilité.
- Étudier le signe de \(f'(x)\) sur son ensemble de dérivabilité.
- Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
1. Dérivée : La fonction racine carrée est dérivable sur \( \left] 0 ; +\infty \right[ \) et on a \( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \).
2. Signe : Pour tout \(x > 0\), \(\sqrt{x} > 0\), donc \(2\sqrt{x} > 0\). Par conséquent, \( f'(x) > 0 \) sur \( \left] 0 ; +\infty \right[ \).
3. Tableau de variations :
La fonction \(f\) est strictement croissante sur \( \left[ 0 ; +\infty \right[ \).
Exercice 3 : Comparaison et ordre
Sans utiliser de calculatrice, comparer les nombres suivants en justifiant votre démarche :
- \(\sqrt{7}\) et \(2,6\).
- \(\sqrt{\dfrac{13}{4}}\) et \(\sqrt{\dfrac{10}{3}}\).
1. Comparaison de \(\sqrt{7}\) et \(2,6\) :
Calculons le carré de \(2,6\) : \(2,6^2 = 6,76\).
On sait que \(6,76 < 7\). Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur \(\left[ 0 ; +\infty \right[\), elle conserve l'ordre des images :
donc \(\sqrt{6,76} < \sqrt{7}\), ce qui signifie que \( 2,6 < \sqrt{7} \).
2. Comparaison de \(\sqrt{\dfrac{13}{4}}\) et \(\sqrt{\dfrac{10}{3}}\) :
Comparons d'abord les radicandes en les mettant au même dénominateur :
\(\dfrac{13}{4} = \dfrac{39}{12}\) et \(\dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{12}\).
On a \(\dfrac{39}{12} < \dfrac{40}{12}\), donc \(\dfrac{13}{4} < \dfrac{10}{3}\).
La fonction racine carrée étant strictement croissante sur \(\left[ 0 ; +\infty \right[\) :
donc \( \sqrt{\dfrac{13}{4}} < \sqrt{\dfrac{10}{3}} \).
Exercice 4 : Équations et inéquations
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes :
- \(\sqrt{x} = 9\)
- \(\sqrt{x} = -2\)
- \(\sqrt{x} \le 5\)
- \(\sqrt{x} > 4\)
1. \(\sqrt{x} = 9\) : Comme \(9 \ge 0\), on élève au carré : \(x = 9^2 = 81\).
L'ensemble des solutions est \( S = \{ 81 \} \).
2. \(\sqrt{x} = -2\) : Une racine carrée est toujours positive ou nulle. L'équation \(\sqrt{x} = -2\) n'a donc pas de solution.
L'ensemble des solutions est \( S = \emptyset \).
3. \(\sqrt{x} \le 5\) : On doit avoir \(x \ge 0\) pour que la racine existe. En élevant au carré, on obtient \(x \le 5^2\), donc \(x \le 25\).
L'ensemble des solutions est \( S = \left[ 0 ; 25 \right] \).
4. \(\sqrt{x} > 4\) : En élevant au carré, on obtient \(x > 4^2\), donc \(x > 16\).
L'ensemble des solutions est \( S = \left] 16 ; +\infty \right[ \).
Exercice 5 : Étude d'équation complexe
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante : \(\sqrt{x} = x\).
On cherche les solutions de \(\sqrt{x} = x\). On doit avoir \(x \ge 0\).
Mettons tout du même côté : donc \(x - \sqrt{x} = 0\).
Remarquons que \(x = \left( \sqrt{x} \right)^2\). On peut donc factoriser par \(\sqrt{x}\) :
donc \(\sqrt{x} \left( \sqrt{x} - 1 \right) = 0\).
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul :
donc \(\sqrt{x} = 0\) ou \(\sqrt{x} - 1 = 0\)
donc \(x = 0\) ou \(\sqrt{x} = 1\)
donc \(x = 0\) ou \(x = 1^2 = 1\).
L'ensemble des solutions est \( S = \{ 0 ; 1 \} \).