Exercice 1 : Calculs algébriques
Soit \(f\) la fonction carré définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\).
- Calculer les images de \(\dfrac{3}{4}\) et de \(-\dfrac{5}{2}\).
- Déterminer, s'ils existent, les antécédents de \(49\) et de \(-4\).
- Comparer, sans calculatrice, \(\left( -\pi \right)^2\) et \(3^2\).
1. Images :
\(f\left( \dfrac{3}{4} \right) = \left( \dfrac{3}{4} \right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2} = \) \( \dfrac{9}{16} \).
\(f\left( -\dfrac{5}{2} \right) = \left( -\dfrac{5}{2} \right)^2 = \dfrac{\left( -5 \right)^2}{2^2} = \) \( \dfrac{25}{4} \).
2. Antécédents :
Chercher les antécédents de \(49\) revient à résoudre \(x^2 = 49\). Comme \(49 > 0\), il y a deux solutions : \(x = \sqrt{49} = 7\) ou \(x = -\sqrt{49} = -7\). Les antécédents sont \( 7 \) et \( -7 \).
Chercher les antécédents de \(-4\) revient à résoudre \(x^2 = -4\). Un carré étant toujours positif ou nul, cette équation n'a pas de solution réelle. Il n'y a aucun antécédent.
3. Comparaison :
On sait que \(\left( -\pi \right)^2 = \pi^2\). Or \(\pi > 3\) (car \(\pi \approx 3,14\)). Comme la fonction carré est strictement croissante sur \(\left[ 0 ; +\infty \right[\), on en déduit que \( \left( -\pi \right)^2 > 3^2 \).
Exercice 2 : Étude des variations
Soit \(f(x) = x^2\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Donner l'expression de la dérivée \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
- Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).
1. Dérivée : D'après le cours, la fonction carré est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \( f'(x) = 2x \).
2. Signe : \( 2x = 0 \) donc \( x = 0 \). On a \( 2x < 0 \) sur \( \left] -\infty ; 0 \right[ \) et \( 2x > 0 \) sur \( \left] 0 ; +\infty \right[ \).
3. Tableau de variations :
La fonction \(f\) admet un minimum égal à \(0\), atteint en \(x = 0\).
Exercice 3 : Parité et symétrie
Démontrer que la fonction carré est une fonction paire sur \(\mathbb{R}\). Quelle est la conséquence pour sa courbe représentative (la parabole) ?
Pour tout réel \(x\), l'opposé \(-x\) appartient également à \(\mathbb{R}\).
Calculons \(f(-x)\) :
\(f(-x) = \left( -x \right)^2 = \left( -1 \times x \right)^2 = \left( -1 \right)^2 \times x^2 = 1 \times x^2 = x^2\).
On a donc \(f(-x) = f(x)\), ce qui prouve que la fonction \(f\) est paire.
Graphiquement, cela signifie que la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exercice 4 : Comparaison et encadrement
On donne les encadrements suivants. Déterminer l'encadrement le plus précis possible du carré \(x^2\).
- \(3 \le x \le 5\)
- \(-4 \le x \le -1\)
- \(-3 \le x \le 2\)
1. Sur \(\left[ 3 ; 5 \right]\), la fonction carré est strictement croissante. L'ordre est conservé :
\(3^2 \le x^2 \le 5^2\) donc \( 9 \le x^2 \le 25 \).
2. Sur \(\left[ -4 ; -1 \right]\), la fonction carré est strictement décroissante. L'ordre est inversé :
\(\left( -1 \right)^2 \le x^2 \le \left( -4 \right)^2\) donc \( 1 \le x^2 \le 16 \).
3. Sur \(\left[ -3 ; 2 \right]\), l'intervalle contient \(0\). Le minimum du carré sur cet intervalle est \(0\) (atteint en \(x=0\)). Le maximum est le plus grand des deux carrés des bornes : \(\max\left( \left( -3 \right)^2 ; 2^2 \right) = \max(9 ; 4) = 9\).
On obtient donc \( 0 \le x^2 \le 9 \).
Exercice 5 : Équations et inéquations
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes :
- \(x^2 = 11\)
- \(x^2 \le 16\)
- \(x^2 > 5\)
1. Résolution de \(x^2 = 11\) :
donc \(x^2 - 11 = 0\)
donc \(x^2 - \left( \sqrt{11} \right)^2 = 0\)
donc \(\left( x - \sqrt{11} \right) \left( x + \sqrt{11} \right) = 0\).
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul :
donc \(x - \sqrt{11} = 0\) ou \(x + \sqrt{11} = 0\)
donc \(x = \sqrt{11}\) ou \(x = -\sqrt{11}\).
L'ensemble des solutions est \( S = \left\{ -\sqrt{11} ; \sqrt{11} \right\} \).
2. Résolution de \(x^2 \le 16\) :
donc \(x^2 - 16 \le 0\)
donc \(x^2 - 4^2 \le 0\)
donc \(\left( x - 4 \right) \left( x + 4 \right) \le 0\).
Les racines de l'expression sont \(-4\) et \(4\).
Le coefficient de \(x^2\) étant positif (\(1\)), le produit est négatif ou nul entre les racines.
L'ensemble des solutions est \( S = \left[ -4 ; 4 \right] \).
3. Résolution de \(x^2 > 5\) :
donc \(x^2 - 5 > 0\)
donc \(x^2 - \left( \sqrt{5} \right)^2 > 0\)
donc \(\left( x - \sqrt{5} \right) \left( x + \sqrt{5} \right) > 0\).
Les racines de l'expression sont \(-\sqrt{5}\) et \(\sqrt{5}\).
Le coefficient de \(x^2\) étant positif (\(1\)), le produit est strictement positif à l'extérieur des racines.
L'ensemble des solutions est \( S = \left] -\infty ; -\sqrt{5} \right[ \cup \left] \sqrt{5} ; +\infty \right[ \).