Applications concrètes de la dérivation

1. La largeur \(x\) est une longueur, donc \(x \ge 0\). L'enclos possède deux largeurs de longueur \(x\). Comme le fermier dispose de \(100\) m de grillage au total, on a donc \(2x \le 100\), soit \(x \le 50\). On a bien \(x \in \left[ 0 ; 50 \right]\).

2. La longueur du côté parallèle au mur est égale à la quantité totale de grillage moins les deux largeurs de longueur \(x\). On obtient donc \(100 - 2x\).

3. L'aire du rectangle est donnée par le produit de la largeur par la longueur :
\(A(x) = x \left(100 - 2x\right) = 100x - 2x^2\). On a donc bien \(A(x) = -2x^2 + 100x\).

4. La fonction \(A\) est une fonction polynôme de degré \(2\) dérivable sur \(\left[ 0 ; 50 \right]\).
\(A'(x) = -2 \times 2x + 100 = -4x + 100\).
Étudions le signe de \(A'(x)\) :
\(-4x + 100 = 0 \iff -4x = -100 \iff x = 25\).
\(-4x + 100 > 0 \iff -4x > -100 \iff x < 25\).

D'après le tableau de variations, la fonction \(A\) admet un maximum en \(x = 25\). L'aire maximale est donc de \(1250\) m², atteinte pour une largeur de \(25\) m.

1. La recette \(R(q)\) est le produit du prix de vente d'une tonne par le nombre de tonnes vendues. On a donc \(R(q) = 100q\).

2. Le bénéfice \(B(q)\) est la différence entre la recette et le coût de production :
\(B(q) = R(q) - C(q) = 100q - \left(q^2 + 10q + 900\right) = 100q - q^2 - 10q - 900\).
On obtient donc \(B(q) = -q^2 + 90q - 900\).

3. La fonction \(B\) est dérivable sur \(\left[ 0 ; 50 \right]\).
\(B'(q) = -2q + 90\).
Étudions le signe de la dérivée :
\(-2q + 90 = 0 \iff -2q = -90 \iff q = 45\).
Comme le coefficient de \(q\) est négatif (\(-2\)), la fonction \(B'\) est positive avant \(45\) et négative après.

Le bénéfice est maximal pour une production de \(45\) tonnes. Ce bénéfice s'élève à \(1125\) €.

1. Après avoir découpé les carrés de côté \(x\), la base de la boîte est un carré de côté \(30 - 2x\). La hauteur de la boîte est \(x\).
Le volume est \(V(x) = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} = \left(30 - 2x\right)^2 \times x\).
En développant : \(V(x) = x \left(900 - 120x + 4x^2\right) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).
Comme les longueurs doivent être positives, on a \(x \ge 0\) et \(30 - 2x \ge 0\), donc \(x \in \left[ 0 ; 15 \right]\).

2. La fonction \(V\) est dérivable sur \(\left[ 0 ; 15 \right]\).
\(V'(x) = 4 \times 3x^2 - 120 \times 2x + 900 = 12x^2 - 240x + 900\).
Cherchons les racines du trinôme \(12x^2 - 240x + 900\) :
\(\Delta = \left(-240\right)^2 - 4 \times 12 \times 900 = 57600 - 43200 = 14400\).
\(\sqrt{\Delta} = 120\).
Les racines sont \(x_1 = \dfrac{240 - 120}{24} = 5\) et \(x_2 = \dfrac{240 + 120}{24} = 15\).
Le coefficient de \(x^2\) (\(12\)) étant positif, \(V'(x)\) est positive à l'extérieur des racines.

Le volume est maximal pour \(x = 5\) cm. Le volume maximal est de \(2000\) cm³.

La fonction \(f\) est de la forme \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(t) = 4t\) et \(v(t) = t^2 + 1\).
On a \(u'(t) = 4\) et \(v'(t) = 2t\).
En utilisant la formule \(\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), on obtient :
\(f'(t) = \dfrac{4\left(t^2 + 1\right) - 4t \times 2t}{\left(t^2 + 1\right)^2} = \dfrac{4t^2 + 4 - 8t^2}{\left(t^2 + 1\right)^2} = \dfrac{-4t^2 + 4}{\left(t^2 + 1\right)^2}\).

Le dénominateur étant un carré, il est toujours positif. Le signe de \(f'(t)\) dépend donc de celui de \(-4t^2 + 4\).
\(-4t^2 + 4 = 0 \iff -4t^2 = -4 \iff t^2 = 1\). Sur \(\left[ 0 ; 8 \right]\), la seule racine est \(t = 1\).
Comme le coefficient de \(t^2\) est négatif (\(-4\)), le trinôme est positif entre ses racines (\(-1\) et \(1\)), donc sur \(\left[ 0 ; 1 \right]\).

La concentration est maximale au bout de \(1\) heure. Elle est alors de \(2\) mg/L.

Exprimons d'abord le coût moyen \(C_m(x)\) :
\(C_m(x) = \dfrac{x^2 + 16x + 100}{x} = \dfrac{x^2}{x} + \dfrac{16x}{x} + \dfrac{100}{x} = x + 16 + \dfrac{100}{x}\).

La fonction \(C_m\) est dérivable sur \(\left[ 1 ; 50 \right]\).
\(C_m'(x) = 1 + 0 - \dfrac{100}{x^2} = 1 - \dfrac{100}{x^2} = \dfrac{x^2 - 100}{x^2}\).

Le signe de \(C_m'(x)\) dépend de celui de \(x^2 - 100\).
\(x^2 - 100 = 0 \iff x^2 = 100 \iff x = 10\) (car \(x \in \left[ 1 ; 50 \right]\)).
Comme le trinôme \(x^2 - 100\) est positif à l'extérieur des racines (\(-10\) et \(10\)), la dérivée est négative sur \(\left[ 1 ; 10 \right]\) et positive sur \(\left[ 10 ; 50 \right]\).

Le coût moyen est minimal pour une production de \(10\) objets. Le coût moyen s'élève alors à \(36\) € par objet.