Exercice \( 1 \) : Polynôme du second degré
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \left[ -1; 2 \right] \) par : \( f(x) = -2x^2 + 3x - 1 \text{.} \)
Calculer la dérivée de la fonction \( f \) puis étudier le signe de sa dérivée. En déduire le tableau de variation.
Corrigé de l'Exercice \( 1 \)
\( 1. \) Dérivée :
\( f \) est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur \( \left[ -1; 2 \right] \text{.} \)
Sa dérivée est \( f'(x) = -4x + 3 \).
\( 2. \) Signe de la dérivée :
\( -4x + 3 = 0 \) donc \( -4x = -3 \) donc \( x = \dfrac{3}{4} \).
Le coefficient directeur est négatif (\( -4 \)), donc la dérivée est positive avant sa racine.
\( 3. \) Tableau de variation :
Exercice \( 2 \) : Polynôme du troisième degré
Soit \( g \) la fonction définie sur \( \left[ -2; 3 \right] \) par : \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \text{.} \)
Étudier les variations de \( g \) sur cet intervalle.
Corrigé de l'Exercice \( 2 \)
Dérivée : \( g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x\left( x-2 \right) \). Les racines sont \( 0 \) et \( 2 \).
Exercice \( 3 \) : Fonction quotient
Soit \( h \) la fonction définie sur \( \left[ -5; 3 \right] \) par : \( h(x) = \dfrac{x-2}{x+1} \text{.} \)
Corrigé de l'Exercice \( 3 \)
Dérivée : \( h'(x) = \dfrac{3}{\left( x+1 \right)^2} \). Toujours positive sur son domaine.
Exercice \( 4 \) : Avec une fonction auxiliaire
Soit \( f \) la fonction définie sur \( I = \left] -4; +\infty \right[ \) par \( f(x) = \dfrac{x^3 - 2}{x+4} \text{.} \)
- Déterminer la dérivée de \( f \text{.} \)
- Soit \( g \) la fonction définie sur \( I \) par \( g(x) = 2x^3 + 12x^2 + 2 \text{.} \) Étudier les variations de \( g \) sur \( I \text{.} \)
- Déduire le signe de \( f'(x) \) et le tableau de variation de \( f \text{.} \)
- Équation de la tangente au point d'abscisse \( 0 \text{.} \)
Corrigé détaillé de l'Exercice \( 4 \)
\( 1. \) Calcul de la dérivée de \( f \) :
\( f \) est de la forme \( \dfrac{u}{v} \) avec :
\( u(x) = x^3 - 2 \) donc \( u'(x) = 3x^2 \)
\( v(x) = x+4 \) donc \( v'(x) = 1 \)
D'après la formule \( \left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \) :
\( f'(x) = \dfrac{3x^2\left( x+4 \right) - \left( x^3 - 2 \right) \times 1}{\left( x+4 \right)^2} = \dfrac{2x^3 + 12x^2 + 2}{\left( x+4 \right)^2} \)
\( f'(x) = \dfrac{g(x)}{\left( x+4 \right)^2} \).
\( 2. \) Étude de la fonction auxiliaire \( g \) :
\( g'(x) = 6x^2 + 24x = 6x\left( x+4 \right) \text{.} \)
Sur \( I \), \( x+4 > 0 \), donc \( g'(x) \) est du signe de \( 6x \).
\( g'(x) = 0 \) pour \( x = 0 \). Elle est négative sur \( \left] -4; 0 \right] \) et positive sur \( \left[ 0; +\infty \right[ \text{.} \)
Le minimum de \( g \) sur \( I \) est \( 2 \), donc pour tout \( x \in I \), \( g(x) \ge 2 \), donc \( g(x) > 0 \).
\( 3. \) Variations de \( f \) :
Comme \( \left( x+4 \right)^2 > 0 \) et \( g(x) > 0 \) sur \( I \), alors \( f'(x) > 0 \) sur \( I \text{.} \)
La fonction \( f \) est donc strictement croissante sur \( I \text{.} \)
\( 4. \) Équation de la tangente au point d'abscisse \( 0 \) :
\( f(0) = \dfrac{0^3 - 2}{0 + 4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2} \)
\( f'(0) = \dfrac{g(0)}{\left( 0+4 \right)^2} = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8} \)
L'équation est \( y = f'(0)\left( x - 0 \right) + f(0) \) donc \( y = \dfrac{1}{8}x - \dfrac{1}{2} \).
Exercice \( 5 \) : Fonction avec racine carrée
Soit \( k \) la fonction définie sur \( \left[ 0; +\infty \right[ \) par : \( k(x) = \left( x^2 - 8 \right) \sqrt{x} \text{.} \)
Corrigé de l'Exercice \( 5 \)
Dérivée :
\( k \) est dérivable sur \( \left] 0; +\infty \right[ \text{.} \)
\( k'(x) = 2x\sqrt{x} + \left( x^2 - 8 \right) \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x^2 + x^2 - 8}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5x^2 - 8}{2\sqrt{x}} \).
Sur \( \left] 0; +\infty \right[ \text{, } 2\sqrt{x} > 0 \text{, } \) la dérivée est du signe de \( 5x^2 - 8 \text{.} \)
\( 5x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = \dfrac{8}{5} \implies x = \sqrt{\dfrac{8}{5}} \approx 1,26 \text{. } \)