Taux d'accroissement et calculs de dérivées

\( 1. \) Taux de variation :

\( \tau(h) = \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} \)

\( f(1+h) = (1+h)^2 + 2(1+h) = (1 + 2h + h^2) + (2 + 2h) = h^2 + 4h + 3 \)

\( f(1) = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 \)

\( \tau(h) = \dfrac{(h^2 + 4h + 3) - 3}{h} = \dfrac{h^2 + 4h}{h} \)

\( \tau(h) = \dfrac{h(h + 4)}{h} = \) \( h + 4 \).

\( 2. \) Étude de la dérivabilité en \( a=1 \) :

La fonction \( f \) est dérivable en \( a=1 \) si la limite du taux de variation \( \tau(h) \) est un nombre réel fini quand \( h \) tend vers \( 0 \text{.} \)

On calcule la limite : \( \lim\limits_{h \to 0} \tau(h) = \lim\limits_{h \to 0} (h + 4) = 4 \text{.} \)

Comme la limite est un nombre réel fini, la fonction \( f \) est bien dérivable en \( a=1 \).

Le nombre dérivé est : \( f'(1) = 4 \).

\( 1. \) Taux de variation :

\( \tau(h) = \dfrac{g(2+h) - g(2)}{h} \)

\( g(2+h) = \dfrac{1}{(2+h)+2} = \dfrac{1}{4+h} \) et \( g(2) = \dfrac{1}{2+2} = \dfrac{1}{4} \text{.} \)

\( \tau(h) = \dfrac{\dfrac{1}{4+h} - \dfrac{1}{4}}{h} = \dfrac{\dfrac{4 - (4+h)}{4(4+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{-h}{4(4+h)}}{h} \)

\( \tau(h) = \dfrac{-h}{4(4+h)} \times \dfrac{1}{h} = \) \( \dfrac{-1}{4(4+h)} \).

\( 2. \) Nombre dérivé :

\( g'(2) = \lim\limits_{h \to 0} \tau(h) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1}{4(4+h)} = \) \( -\dfrac{1}{16} \).

\( 1. \) \( f'(x) \) : \( f'(x) = 15x^2 - 8x + 7 \)

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\( 2. \) \( g'(x) = u'v + uv' \) :

\( u(x) = 2x+1 \text{ donc } u'(x) = 2 \) ; \( v(x) = x-3 \text{ donc } v'(x) = 1 \text{.} \)

\( g'(x) = 2(x-3) + (2x+1)(1) = 2x - 6 + 2x + 1 = \) \( 4x - 5 \)

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\( 3. \) \( h'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \) :

\( u(x) = 2x-3 \text{ donc } u'(x) = 2 \) ; \( v(x) = x+4 \text{ donc } v'(x) = 1 \text{.} \)

\( h'(x) = \dfrac{2(x+4) - (2x-3)(1)}{(x+4)^2} = \dfrac{2x + 8 - 2x + 3}{(x+4)^2} = \) \( \dfrac{11}{(x+4)^2} \)

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\( 4. \) \( k'(x) \) : \( k'(x) = 5 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5}{2\sqrt{x}} \)

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\( 5. \) \( m'(x) = u'v + uv' \) :

\( u(x) = 3x-1 \text{ donc } u'(x) = 3 \) ; \( v(x) = \sqrt{x} \text{ donc } v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \text{.} \)

\( m'(x) = 3\sqrt{x} + \dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3\sqrt{x} \times 2\sqrt{x} + 3x - 1}{2\sqrt{x}} = \) \( \dfrac{9x - 1}{2\sqrt{x}} \)

\( 1. \) \( f'(x) \) : \( a=3 \) et \( u(X) = X^4 \text{ donc } u'(X) = 4X^3 \text{.} \)

\( f'(x) = 3 \times 4(3x - 5)^3 = \) \( 12(3x - 5)^3 \).

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\( 2. \) \( g'(x) \) : \( a=-2 \) et \( u(X) = \sqrt{X} \text{ donc } u'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}} \text{.} \)

\( g'(x) = -2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{-2x + 7}} = \) \( \dfrac{-1}{\sqrt{-2x + 7}} \).

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\( 3. \) \( h'(x) \) : \( a=5 \) et \( u(X) = \dfrac{1}{X} \text{ donc } u'(X) = -\dfrac{1}{X^2} \text{.} \)

\( h'(x) = 5 \times \left( -\dfrac{1}{(5x - 1)^2} \right) = \) \( -\dfrac{5}{(5x - 1)^2} \).