Nombre dérivé et tangente

\( 1. \) Par lecture graphique, le point \( \text{A} \) de la courbe \( C_f \) d'abscisse \( 2 \) a pour ordonnée \( -2 \text{.} \) Donc \( f(2) = -2 \).

\( 2. \) \( f'(2) \) est le nombre dérivé en \( 2 \text{,} \) il est égal au coefficient directeur de la tangente \( (\text{AB}) \) au point \( \text{A} \text{.} \)

On lit les coordonnées des points \( \text{A} \) et \( \text{B} \) : \( A(2 ; -2) \) et \( B(0 ; -5) \text{.} \)

\( f'(2) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-5 - (-2)}{0 - 2} = \dfrac{-3}{-2} = \) \( \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \).

\( 1. \) Nombres dérivés :

\( f'(-5) = \dfrac{+2}{+1{,}5} = \) \( \dfrac{4}{3} \).

\( f'(-4) = \) \( 0 \) (tangente horizontale).

\( f'(-2) = \dfrac{-3}{+0{,}5} = \) \( -6 \).

\( f'(4) = \dfrac{-1{,}5}{+2} = \) \( -\dfrac{3}{4} \).

\( 2. \) Équations de tangentes : \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \text{.} \)

Tangente au point d'abscisse \( 4 \) :

On lit \( f'(4) = -\dfrac{3}{4} \) et \( f(4) = -1{,}5 \text{.} \)

\( y = -\dfrac{3}{4}(x - 4) - 1{,}5 \implies y = -0{,}75x + 3 - 1{,}5 \implies \) \( y = -0{,}75x + 1{,}5 \).

Tangente au point d'abscisse \( -2 \) :

On lit \( f'(-2) = -6 \) et \( f(-2) = 0{,}5 \text{.} \)

\( y = -6(x - (-2)) + 0{,}5 \implies y = -6x - 12 + 0{,}5 \implies \) \( y = -6x - 11{,}5 \).

\( 1. \) Équation de la tangente \( (t) \) :

On utilise la formule \( y = f'(1)(x-1) + f(1) \text{.} \)

On a \( f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 2 \text{.} \) On a \( f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 1 - 2 = 1 \text{.} \)

On dérive \( f \) : \( f'(x) = 3x^2 + 6x - 1 \text{.} \)

On calcule le nombre dérivé en \( 1 \) : \( f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8 \text{.} \)

L'équation est : \( y = 8(x - 1) + 1 \implies y = 8x - 8 + 1 \implies \) \( y = 8x - 7 \).

\( 2. \) Tracé : La droite passe par \( A(1 ; 1) \) et un autre point, par exemple si \( x=1{,}5 \text{,} y = 8(1{,}5) - 7 = 12 - 7 = 5 \text{.} \) La droite passe par \( A(1 ; 1) \) et \( B(1{,}5 ; 5) \text{.} \)

\( 3. \) Tangente parallèle :

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On cherche s'il existe \( x \neq 1 \) tel que \( f'(x) = 8 \text{.} \)

\( 3x^2 + 6x - 1 = 8 \iff 3x^2 + 6x - 9 = 0 \iff x^2 + 2x - 3 = 0 \text{.} \)

On calcule \( \Delta = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \text{.} \) \( \sqrt{\Delta} = 4 \text{.} \)

\( x_1 = \dfrac{-2 - 4}{2} = -3 \) et \( x_2 = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1 \text{.} \)

Oui, il existe une autre tangente parallèle au point d'abscisse \( x = -3 \).