Suites arithmético-géométriques

\( 1. \) Démontrer que \( (v_n) \) est géométrique :

Calculons les premiers termes de \( (v_n) \) :

\( v_0 = u_0 + 3 = 1 + 3 = 4 \)

\( u_1 = 2 \times u_0 + 3 = 2 \times 1 + 3 = 5 \)

\( v_1 = u_1 + 3 = 5 + 3 = 8 \)

On conjecture une raison \( q = \dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{8}{4} = 2 \).

Démontrons que \( v_{n+1} - 2v_n = 0 \) pour tout \( n \) :

\( v_{n+1} - 2v_n = (u_{n+1} + 3) - 2 \times (u_n + 3) \)

\( v_{n+1} - 2v_n = (2 \times u_n + 3 + 3) - 2 \times u_n - 6 \)

\( v_{n+1} - 2v_n = (2 \times u_n + 6) - 2 \times u_n - 6 = 0 \)

Puisque \( v_{n+1} - 2v_n = 0 \), on a \( v_{n+1} = 2 \times v_n \).

La suite \( (v_n) \) est donc géométrique de raison \( q = 2 \) et de premier terme \( v_0 = 4 \).

\( 2. \) Expression de \( v_n \) :

\( (v_n) \) est une suite géométrique de premier terme \( v_0=4 \) et de raison \( q=2 \).

La formule explicite est \( v_n = v_0 \times q^n \).

\( v_n = 4 \times 2^n \) (ou \( 2^2 \times 2^n = 2^{n+2} \))

\( 3. \) Expression de \( u_n \) :

On sait que \( v_n = u_n + 3 \), donc \( u_n = v_n - 3 \).

On remplace \( v_n \) par son expression :

\( u_n = 4 \times 2^n - 3 \)

\( 4. \) Calcul de \( u_8 \) :

\( u_8 = 4 \times 2^8 - 3 = 4 \times 256 - 3 \)

\( u_8 = 1024 - 3 = \) \( 1021 \)

\( 1. \) Démontrer que \( (v_n) \) est géométrique :

Calculons les premiers termes de \( (v_n) \) :

\( v_0 = u_0 - 8 = 10 - 8 = 2 \)

\( u_1 = \dfrac{1}{2} \times u_0 + 4 = \dfrac{1}{2} \times 10 + 4 = 5 + 4 = 9 \)

\( v_1 = u_1 - 8 = 9 - 8 = 1 \)

On conjecture une raison \( q = \dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{1}{2} \).

Démontrons que \( v_{n+1} - \dfrac{1}{2} v_n = 0 \) pour tout \( n \) :

\( v_{n+1} - \dfrac{1}{2} v_n = (u_{n+1} - 8) - \dfrac{1}{2} \times (u_n - 8) \)

\( v_{n+1} - \dfrac{1}{2} v_n = \left(\dfrac{1}{2} \times u_n + 4 - 8\right) - \dfrac{1}{2} \times u_n + 4 \)

\( v_{n+1} - \dfrac{1}{2} v_n = \left(\dfrac{1}{2} \times u_n - 4\right) - \dfrac{1}{2} \times u_n + 4 = 0 \)

Puisque \( v_{n+1} - \dfrac{1}{2} v_n = 0 \), on a \( v_{n+1} = \dfrac{1}{2} \times v_n \).

La suite \( (v_n) \) est donc géométrique de raison \( q = \dfrac{1}{2} \) et de premier terme \( v_0 = 2 \).

\( 2. \) Expression de \( v_n \) :

\( (v_n) \) est une suite géométrique de premier terme \( v_0=2 \) et de raison \( q=\dfrac{1}{2} \).

La formule explicite est \( v_n = v_0 \times q^n \).

\( v_n = 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \)

\( 3. \) Expression de \( u_n \) :

On sait que \( v_n = u_n - 8 \), donc \( u_n = v_n + 8 \).

On remplace \( v_n \) par son expression :

\( u_n = 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 8 \)

\( 4. \) Calcul de \( u_{10} \) :

\( u_{10} = 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10} + 8 \)

\( u_{10} = 2 \times \dfrac{1}{1024} + 8 = \dfrac{1}{512} + 8 \)

\( u_{10} \approx 0{,}001953 + 8 \approx \) \( 8{,}002 \)

\( 1. \) Calcul de \( p_2 \) et \( p_3 \):

Réduire de \( 10\% \) revient à multiplier par \( 1 - 0{,}10 = 0{,}9 \).

\( p_2 = p_1 \times 0{,}9 + 5 = 20 \times 0{,}9 + 5 = 18 + 5 = \) \( 23 \) €.

\( p_3 = p_2 \times 0{,}9 + 5 = 23 \times 0{,}9 + 5 = 20{,}7 + 5 = \) \( 25{,}70 \) €.

\( 2. \) Relation de récurrence :

Le prix du \( n \)-ième jour est \( p_n \). Le prix du jour suivant (\( p_{n+1} \)) est le prix du jour \( n \) réduit de \( 10\% \) (\( p_n \times 0{,}9 \)), auquel on ajoute \( 5 \) €.

On a donc bien \( p_{n+1} = 0{,}9 \times p_n + 5 \).

\( 3. \) Démontrer que \( (v_n) \) est géométrique :

Calculons les premiers termes de \( (v_n) \) (définie pour \( n \ge 1 \)) :

\( v_1 = p_1 - 50 = 20 - 50 = -30 \)

\( v_2 = p_2 - 50 = 23 - 50 = -27 \)

On conjecture une raison \( q = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{-27}{-30} = 0{,}9 \).

Démontrons que \( v_{n+1} - 0{,}9 \times v_n = 0 \) pour tout \( n \ge 1 \) :

\( v_{n+1} - 0{,}9 \times v_n = (p_{n+1} - 50) - 0{,}9 \times (p_n - 50) \)

\( v_{n+1} - 0{,}9 \times v_n = (0{,}9 \times p_n + 5 - 50) - 0{,}9 \times p_n + 45 \)

\( v_{n+1} - 0{,}9 \times v_n = (0{,}9 \times p_n - 45) - 0{,}9 \times p_n + 45 = 0 \)

Puisque \( v_{n+1} - 0{,}9 \times v_n = 0 \), on a \( v_{n+1} = 0{,}9 \times v_n \).

\( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( q = 0{,}9 \) et de premier terme \( v_1 = -30 \).

\( 4. \) Expression de \( p_n \) :

La formule explicite pour \( n \ge 1 \) est \( v_n = v_1 \times q^{n-1} \).

\( v_n = -30 \times (0{,}9)^{n-1} \).

On en déduit \( p_n \) : \( p_n = v_n + 50 \).

\( p_n = -30 \times (0{,}9)^{n-1} + 50 \).

\( 5. \) Prix du \( 15 \)-ème jour :

On calcule \( p_{15} \) :

\( p_{15} = -30 \times (0{,}9)^{15-1} + 50 \)

\( p_{15} = -30 \times (0{,}9)^{14} + 50 \)

\( p_{15} \approx -30 \times 0{,}2287 + 50 \approx -6{,}86 + 50 \approx 43{,}14 \)

Le prix du \( 15 \)-ème jour est d'environ \( 43{,}14 \) €.

\( 1. \) Calcul de \( P_1 \) et \( P_2 \):

Augmenter de \( 20\% \) revient à multiplier par \( 1{,}2 \).

\( P_1 = P_0 \times 1{,}2 - 1500 = 5000 \times 1{,}2 - 1500 = 6000 - 1500 = \) \( 4500 \).

\( P_2 = P_1 \times 1{,}2 - 1500 = 4500 \times 1{,}2 - 1500 = 5400 - 1500 = \) \( 3900 \).

\( 2. \) Relation de récurrence :

La population \( P_n \) est augmentée de \( 20\% \) (donc multipliée par \( 1{,}2 \)), puis on retire \( 1500 \) poissons.

On a donc bien \( P_{n+1} = 1{,}2 \times P_n - 1500 \).

\( 3. \) Démontrer que \( (v_n) \) est géométrique :

Calculons les premiers termes de \( (v_n) \) :

\( v_0 = P_0 - 7500 = 5000 - 7500 = -2500 \)

\( v_1 = P_1 - 7500 = 4500 - 7500 = -3000 \)

On conjecture une raison \( q = \dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{-3000}{-2500} = \dfrac{30}{25} = 1{,}2 \).

Démontrons que \( v_{n+1} - 1{,}2 \times v_n = 0 \) pour tout \( n \) :

\( v_{n+1} - 1{,}2 \times v_n = (P_{n+1} - 7500) - 1{,}2 \times (P_n - 7500) \)

\( v_{n+1} - 1{,}2 \times v_n = (1{,}2 \times P_n - 1500 - 7500) - 1{,}2 \times P_n + 9000 \)

\( v_{n+1} - 1{,}2 \times v_n = (1{,}2 \times P_n - 9000) - 1{,}2 \times P_n + 9000 = 0 \)

Puisque \( v_{n+1} - 1{,}2 \times v_n = 0 \), on a \( v_{n+1} = 1{,}2 \times v_n \).

\( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( q = 1{,}2 \) et de premier terme \( v_0 = -2500 \).

\( 4. \) Expression de \( P_n \) :

La formule explicite est \( v_n = v_0 \times q^n \).

\( v_n = -2500 \times (1{,}2)^n \).

On en déduit \( P_n \) : \( P_n = v_n + 7500 \).

\( P_n = 7500 - 2500 \times (1{,}2)^n \).

\( 5. \) Population en \( 2035 \) (\( n=10 \)) :

On calcule \( P_{10} \) :

\( P_{10} = 7500 - 2500 \times (1{,}2)^{10} \)

À l'aide de la calculatrice, \( (1{,}2)^{10} \approx 6{,}1917 \)

\( P_{10} \approx 7500 - 2500 \times 6{,}1917 \approx 7500 - 15479{,}3 \approx -7979{,}3 \)

Le modèle mathématique donne un résultat négatif, ce qui est impossible. Cela signifie que la population de poissons s'est éteinte (est tombée à \( 0 \)) bien avant la \( 10 \)-ème année.

En \( 2035 \) (\( n=10 \)), la population sera de \( 0 \).