Suites géométriques

\( 1. \) Suite \( (u_n) \):

La suite est définie par la relation de récurrence \( u_{n+1} = 3u_n \). C'est la définition même d'une suite géométrique de la forme \( u_{n+1} = q \times u_n \).

\( (u_n) \) est une suite géométrique de raison \( q = 3 \) et de premier terme \( u_0 = 2 \).

\( 2. \) Suite \( (v_n) \):

On calcule les premiers termes :

\( v_0 = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 5 \times 1 = 5 \)

\( v_1 = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = \dfrac{5}{2} \)

On calcule le quotient \( \dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{5/2}{5} = \dfrac{1}{2} \). On conjecture que la suite est géométrique de raison \( q = \dfrac{1}{2} \).

Démontrons-le en calculant \( v_{n+1} - q \times v_n \) :

\( v_{n+1} - \dfrac{1}{2}v_n = \left( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \right) - \dfrac{1}{2} \times \left( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \right) \)

\( = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 5 \times \left( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \right) \)

\( = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \)

\( = 0 \)

Comme \( v_{n+1} - \dfrac{1}{2}v_n = 0 \), on a \( v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n \). La suite est bien géométrique.

\( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( q = \dfrac{1}{2} \) et de premier terme \( v_0 = 5 \).

\( 3. \) Suite \( (w_n) \): On calcule les premiers termes (à partir de \( n=1 \)).

\( w_1 = 3(1)^2 = 3 \)

\( w_2 = 3(2)^2 = 12 \)

\( w_3 = 3(3)^2 = 27 \)

On calcule les rapports : \( \dfrac{w_2}{w_1} = \dfrac{12}{3} = 4 \).

\( \dfrac{w_3}{w_2} = \dfrac{27}{12} = \dfrac{9}{4} \).

Les rapports ne sont pas constants.

\( (w_n) \) n'est pas une suite géométrique.

\( 4. \) Suite \( (z_n) \): On calcule les premiers termes :

\( z_0 = 10 \)

\( z_1 = z_0 - 4 = 6 \)

\( z_2 = z_1 - 4 = 2 \)

On calcule les rapports des termes consécutifs :

\( \dfrac{z_1}{z_0} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \)

\( \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)

Comme \( 0{,}6 \neq \dfrac{1}{3} \), les rapports ne sont pas constants.

\( (z_n) \) n'est pas une suite géométrique.

\( 1. \) Terme général : La formule est \( u_n = u_0 \times q^n \).

\( u_n = 3 \times 2^n \)

\( 2. \) Calcul de \( u_{10} \):

\( u_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = \) \( 3072 \).

\( 3. \) Sens de variation :

On étudie le signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \).

D'après la question \( 1 \), \( u_n = 3 \times 2^n \).

Donc, \( u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} \).

\( u_{n+1} - u_n = (3 \times 2^{n+1}) - (3 \times 2^n) \)

On factorise par \( 3 \times 2^n \) :

\( u_{n+1} - u_n = (3 \times 2^n) \times (2 - 1) = 3 \times 2^n \)

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 2^n > 0 \), donc \( 3 \times 2^n > 0 \).

Comme \( u_{n+1} - u_n > 0 \), la suite \( (u_n) \) est strictement croissante.

\( 4. \) Résolutions :

a) \( u_n = 768 \iff 3 \times 2^n = 768 \iff 2^n = \dfrac{768}{3} \iff 2^n = 256 \).

À l'aide de la calculatrice, on trouve \( 2^8 = 256 \). Le rang est \( n=8 \).

b) \( u_n > 1000 \iff 3 \times 2^n > 1000 \iff 2^n > \dfrac{1000}{3} \approx 333{,}33... \)

On cherche la puissance de \( 2 \) : \( 2^8 = 256 \) (insuffisant), \( 2^9 = 512 \) (suffisant).

La suite est supérieure à \( 1000 \) à partir du rang \( n=9 \).

\( 5. \) Somme des termes :

a) \( S_n = u_0 + ... + u_n \) est la somme de \( n+1 \) termes. \( q \neq 1 \).

\( S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 3 \times \dfrac{1 - 2^{n+1}}{1 - 2} \)

\( S_n = 3 \times \dfrac{1 - 2^{n+1}}{-1} = -3(1 - 2^{n+1}) = \) \( 3(2^{n+1} - 1) \)

b) \( S_{10} \) est la somme de \( n+1 = 11 \) termes (de \( u_0 \) à \( u_{10} \)).

\( S_{10} = 3(2^{10+1} - 1) = 3(2^{11} - 1) = 3(2048 - 1) = 3 \times 2047 = \) \( 6141 \).

\( 1. \) Détermination de la raison \( q \):

On utilise la formule \( u_p = u_k \times q^{p-k} \).

Pour \( p=6 \) et \( k=3 \) : \( u_{6} = u_3 \times q^{6-3} \)

\( 320 = 40 \times q^3 \)

\( q^3 = \dfrac{320}{40} = 8 \)

\( q = 2 \)

\( 2. \) Terme général \( u_n \):

On utilise la formule \( u_n = u_k \times q^{n-k} \).

En partant de \( u_3 \) : \( u_n = u_3 \times q^{n-3} \)

\( u_n = 40 \times 2^{n-3} \)

\( u_n = (5 \times 8) \times \dfrac{2^n}{2^3} = (5 \times 2^3) \times \dfrac{2^n}{2^3} \)

\( u_n = 5 \times 2^n \)

(Vérification : \( u_3 = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40 \). C'est correct.)

\( 1. \) Calcul de \( C_1 \) et \( C_2 \):

Ajouter \( 4\% \) revient à multiplier par \( 1 + \dfrac{4}{100} = 1{,}04 \).

\( C_1 = C_0 \times 1{,}04 = 5\,000 \times 1{,}04 = \) \( 5\,200 \) €.

\( C_2 = C_1 \times 1{,}04 = 5\,200 \times 1{,}04 = \) \( 5\,408 \) €.

\( 2. \) Nature et terme général :

a) Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par la même constante (le coefficient multiplicateur \( 1{,}04 \)).

La suite \( (C_n) \) est géométrique de raison \( q = 1{,}04 \).

b) Le terme général est \( C_n = C_0 \times q^n \).

\( C_n = 5\,000 \times (1{,}04)^n \).

\( 3. \) Capital doublé :

Le double du capital initial est \( 2 \times 5\,000 = 10\,000 \) €.

On cherche \( n \) tel que \( C_n \ge 10\,000 \) :

\( 5\,000 \times (1{,}04)^n \ge 10\,000 \iff (1{,}04)^n \ge 2 \)

À l'aide de la calculatrice :

\( n=17 \implies (1{,}04)^{17} \approx 1{,}947 \) (insuffisant)

\( n=18 \implies (1{,}04)^{18} \approx 2{,}025 \) (suffisant)

Le capital aura doublé à partir de la \( 18 \)-ème année.

\( 1. \) Identification de la suite :

On pose \( u_0 = 3 \).

On calcule le rapport entre les premiers termes : \( \dfrac{6}{3} = 2 \) ; \( \dfrac{12}{6} = 2 \).

Les termes sont multipliés par une constante. Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme \( u_0 = 3 \) et de raison \( q = 2 \).

\( 2. \) Nombre de termes :

On doit trouver le rang \( n \) du dernier terme, \( 1536 \). On pose \( u_n = 1536 \).

On utilise la formule du terme général \( u_n = u_0 \times q^n \) :

\( 1536 = 3 \times 2^n \)

\( 2^n = \dfrac{1536}{3} = 512 \)

Comme \( 2^9 = 512 \), \( n = 9 \).

La somme va de \( u_0 \) à \( u_{9} \). Il y a donc \( n+1 = 9+1 = 10 \) termes.

La somme contient \( 10 \) termes.

\( 3. \) Calcul de la somme :

On utilise la formule \( S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q} \).

\( S = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} \)

\( S = 3 \times \dfrac{1 - 1024}{-1} = -3(-1023) = 3069 \)

\( S = 3069 \)