Suites numériques : variations et limites

\( 1. \) Suite \( (u_n) \): On étudie le signe de \( u_{n+1} - u_n \) pour \( n \ge 2 \).

\( u_{n+1} = (n+1)^2 - 4 \times (n+1) + 3 = (n^2 + 2n + 1) - 4n - 4 + 3 = n^2 - 2n \)

\( u_{n+1} - u_n = (n^2 - 2n) - (n^2 - 4n + 3) = 2n - 3 \)

La suite est définie pour \( n \ge 2 \).

Pour \( n \ge 2 \), on a \( 2n \ge 4 \), ce qui implique \( 2n - 3 \ge 4 - 3 = 1 \).

Donc, pour tout \( n \ge 2 \), \( u_{n+1} - u_n > 0 \).

La suite \( (u_n) \) est strictement croissante pour tout \( n \ge 2 \).

\( 2. \) Suite \( (v_n) \): On étudie le signe de \( v_{n+1} - v_n \).

\( v_{n+1} = \dfrac{3 \times (n+1)+1}{(n+1)+2} = \dfrac{3n+4}{n+3} \)

\( v_{n+1} - v_n = \dfrac{3n+4}{n+3} - \dfrac{3n+1}{n+2} = \dfrac{(3n+4) \times (n+2) - (3n+1) \times (n+3)}{(n+3) \times (n+2)} \)

Numérateur : \( (3n^2 + 6n + 4n + 8) - (3n^2 + 9n + n + 3) = (3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3) = 5 \)

\( v_{n+1} - v_n = \dfrac{5}{(n+3) \times (n+2)} \)

Pour \( n \in \mathbb{N} \), \( n+3 > 0 \) et \( n+2 > 0 \), donc le dénominateur est positif. Le numérateur est \( 5 > 0 \).

Comme \( v_{n+1} - v_n > 0 \), la suite \( (v_n) \) est strictement croissante pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

\( 3. \) Suite \( (w_n) \): On étudie le signe de \( w_{n+1} - w_n \).

\( w_{n+1} - w_n = \left( \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 5 \right) - \left( \left(\dfrac{1}{2}\right)^n - 5 \right) \)

\( = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left( \dfrac{1}{2} - 1 \right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times \left( -\dfrac{1}{2} \right) = -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \)

Comme \( \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} > 0 \) pour tout \( n \), on a \( w_{n+1} - w_n < 0 \).

Donc, la suite \( (w_n) \) est strictement décroissante.

\( 1. \) Suite \( (u_n) \): (Suite arithmétique)

On calcule \( u_{n+1} - u_n \).

\( u_{n+1} - u_n = (u_n - 5) - u_n = -5 \).

Comme \( u_{n+1} - u_n < 0 \), la suite \( (u_n) \) est strictement décroissante.

\( 2. \) Suite \( (v_n) \):

On calcule \( v_{n+1} - v_n \).

\( v_{n+1} - v_n = (v_n + n^2 + 1) - v_n = n^2 + 1 \).

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( n^2 \ge 0 \), donc \( n^2 + 1 \ge 1 > 0 \).

Comme \( v_{n+1} - v_n > 0 \), la suite \( (v_n) \) est strictement croissante.

\( 3. \) Suite \( (w_n) \):

On calcule \( w_{n+1} - w_n \).

\( w_{n+1} - w_n = (w_n - n^2 + n - 1) - w_n = -n^2 + n - 1 \).

On étudie le signe du polynôme \( P(n) = -n^2 + n - 1 \).

C'est un polynôme du second degré avec \( a = -1 < 0 \).

On calcule le discriminant : \( \Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times (-1) = 1 - 4 = -3 \).

Puisque \( \Delta < 0 \) et \( a < 0 \), le polynôme \( P(n) \) est toujours strictement négatif, pour tout \( n \in \mathbb{R} \), et donc en particulier pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Puisque \( w_{n+1} - w_n < 0 \) pour tout \( n \), la suite \( (w_n) \) est strictement décroissante.

\( 1. \) Suite \( (u_n) \):

\( u_{10} = \dfrac{400 - 50}{200 + 1} = \dfrac{350}{201} \approx 1.74 \)

\( u_{100} = \dfrac{40000 - 500}{20000 + 1} = \dfrac{39500}{20001} \approx 1.97 \)

\( u_{1000} = \dfrac{4000000 - 5000}{2000000 + 1} = \dfrac{3995000}{2000001} \approx 1.997 \)

Conjecture : La limite semble être \( 2 \).

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\( 2. \) Suite \( (v_n) \):

\( v_{10} = 100 - (0.9)^{10} \approx 100 - 0.348 \approx 99.65 \)

\( v_{100} = 100 - (0.9)^{100} \approx 100 - 0.000026 \approx 99.99997 \)

\( v_{1000} = 100 - (0.9)^{1000} \approx 100 - 1.75 \times 10^{-46} \approx 100 \)

Conjecture : La limite semble être \( 100 \).

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\( 3. \) Suite \( (w_n) \):

\( w_{10} = 10^3 - 50 \times (10)^2 = 1000 - 5000 = -4000 \)

\( w_{100} = 100^3 - 50 \times (100)^2 = 1000000 - 500000 = 500000 \)

\( w_{1000} = 1000^3 - 50 \times (1000)^2 = 10^9 - 50 \times 10^6 \approx 9.5 \times 10^8 \) (très grand)

Conjecture : La limite semble être \( +\infty \).

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\( 4. \) Suite \( (z_n) \): (En utilisant le mode "suite" ou "récurrence" de la calculatrice)

\( z_{10} \approx 20.029 \)

\( z_{100} \approx 20.000... \)

\( z_{1000} \approx 20.000... \)

La suite semble converger très rapidement.

Conjecture : La limite semble être \( 20 \). (C'est la solution de l'équation \( L = 0.5L + 10 \))