Exercices corrigés 1° spé - Inéquations du second degré et quotients

Exercice 1 : Inéquation du second degré

Résoudre l'inéquation suivante :

1) $ 2x^2 + 5x - 3 \ge 0 $

2) $ -x^2 + 6x - 5 > 0 $

3) $ x^2 + 2x + 1 \le 0 $

4) $ 3x^2 - x + 1 > 0 $

5) $ -2x^2 + 7x - 3 < 0 $

Corrigé de l'Exercice 1

1) Résolution de $ 2x^2 + 5x - 3 \ge 0 $

On résout $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $ : $ \Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 49 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 - \sqrt{49}}{2 \times 2} = -3$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \dfrac{1}{2}$$

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & \dfrac{1}{2} & & +\infty \\ \hline {\color{red}2}x^2+5x-3 & & \color{red}{+} & 0 & - & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-\infty; -3] \cup \left[\dfrac{1}{2}; +\infty\right[ $.

2) Résolution de $ -x^2 + 6x - 5 > 0 $

On résout $ -x^2 + 6x - 5 = 0 $ : $ \Delta = 6^2 - 4 \times (-1) \times (-5) = 16 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-6 - \sqrt{16}}{2 \times (-1)} = 5$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-6 + \sqrt{16}}{2 \times (-1)} = 1$$

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & 5 & & +\infty \\ \hline {\color{red}-1}x^2+6x-5 & & \color{red}{-} & 0 & + & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]1; 5[ $.

3) Résolution de $ x^2 + 2x + 1 \le 0 $

On résout $ x^2+2x+1=0 \iff (x+1)^2=0 \implies x=-1 $.

$$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2+2x+1 & & \color{red}{+} & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = \{-1\} $.

4) Résolution de $ 3x^2 - x + 1 > 0 $

On résout $ 3x^2-x+1=0 $ : $ \Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times 1 = -11 $. Pas de racines réelles.

$$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline {\color{red}3}x^2-x+1 & & \color{red}{+} & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = \mathbb{R} $.

5) Résolution de $ -2x^2 + 7x - 3 < 0 $

On résout $ -2x^2+7x-3=0 $ : $ \Delta = 7^2 - 4 \times (-2) \times (-3) = 25 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-7 - \sqrt{25}}{2 \times (-2)} = 3$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-7 + \sqrt{25}}{2 \times (-2)} = \dfrac{1}{2}$$

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & \dfrac{1}{2} & & 3 & & +\infty \\ \hline {\color{red}-2}x^2+7x-3 & & \color{red}{-} & 0 & + & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-\infty; \dfrac{1}{2}[ \cup ]3; +\infty[ $.

Exercice 2 : Inéquation quotient (avec carré)

Résoudre les inéquations suivantes.

1) $ \dfrac{x^2-1}{-3x+2} \le 0 $

2) $ \dfrac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0 $

3) $ \dfrac{x^2+x+1}{2x-6} \ge 0 $

4) $ \dfrac{-x^2+4x-4}{x+1} > 0 $

5) $ \dfrac{x^2-4}{2-x} \le 0 $

Corrigé de l'Exercice 2

1) Résolution de $ \dfrac{x^2-1}{-3x+2} \le 0 $

Valeur interdite : $ -3x+2=0 \iff x = \dfrac{2}{3} $.
Racines numérateur : $ x^2-1=0 \iff x = \pm 1 $.

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & \dfrac{2}{3} & & 1 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2-1 & & \color{red}{+} & 0 & - & | & - & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}-3}x+2 & & + & | & + & 0 & \color{red}{-} & | & \color{red}{-} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & 0 & - & || & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = \left[-1; \dfrac{2}{3}\right[ \cup [1; +\infty[ $.

2) Résolution de $ \dfrac{x^2-7}{(x-5)^2} \ge 0 $

Valeur interdite : $ (x-5)^2=0 \iff x = 5 $.
Racines numérateur : $ x^2-7=0 \iff (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})=0 \iff x = \pm\sqrt{7} $.

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -\sqrt{7} & & \sqrt{7} & & 5 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2-7 & & \color{red}{+} & 0 & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}1}(x-5)^2 & & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & 0 & - & 0 & + & || & + & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; 5[ \cup ]5; +\infty[ $.

3) Résolution de $ \dfrac{x^2+x+1}{2x-6} \ge 0 $

Valeur interdite : $ 2x-6 = 0 \iff x = 3 $.
Racines numérateur : $ x^2+x+1=0 \implies \Delta = -3 $. Pas de racines (toujours positif).

$$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 3 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2+x+1 & & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}2}x-6 & & - & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline \text{Quotient} & & - & || & + & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]3; +\infty[ $.

4) Résolution de $ \dfrac{-x^2+4x-4}{x+1} > 0 $

Valeur interdite : $ x+1 = 0 \iff x = -1 $.
Racines numérateur : $ -x^2+4x-4 = -(x^2-4x+4) = -(x-2)^2 $. La racine est $ 2 $ (racine double).

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 2 & & +\infty \\ \hline {\color{red}-1}(x-2)^2 & & \color{red}{-} & | & \color{red}{-} & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline {\color{red}1}x+1 & & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & || & - & 0 & - & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-\infty; -1[ $.

5) Résolution de $ \dfrac{x^2-4}{2-x} \le 0 $

Valeur interdite : $ 2-x = 0 \iff x = 2 $.
Racines numérateur : $ x^2-4 = 0 \iff x = -2 $ ou $ x = 2 $.

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 2 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2-4 & & \color{red}{+} & 0 & - & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}-1}x+2 & & + & | & + & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & 0 & - & || & - & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = [-2; 2[ \cup ]2; +\infty[ $.

Exercice 3 : Quotient avec numérateur du second degré

Résoudre l'inéquation suivante :

1) $ \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x + 2} < 0 $

2) $ \dfrac{x^2+x-6}{5-x} \ge 0 $

3) $ \dfrac{-x^2+2x-1}{x+3} < 0 $

Corrigé de l'Exercice 3

1) Résolution de $ \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x + 2} < 0 $

Valeur interdite : $ x + 2 = 0 \iff x = -2 $.
Racines numérateur : On résout $ x^2-4x+3=0 $ :
$ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4 - \sqrt{4}}{2 \times 1} = \dfrac{4 - 2}{2} = 1$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4 + \sqrt{4}}{2 \times 1} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3$$

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2-4x+3 & & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & 0 & - & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}1}x+2 & & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline \text{Quotient} & & - & || & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-\infty; -2[ \cup ]1; 3[ $.

2) Résolution de $ \dfrac{x^2+x-6}{5-x} \ge 0 $

Valeur interdite : $ 5-x=0 \iff x = 5 $.
Racines numérateur : On résout $ x^2+x-6=0 $ :
$ \Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt{25}}{2 \times 1} = \dfrac{-1 - 5}{2} = -3$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{25}}{2 \times 1} = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$$

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & 2 & & 5 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2+x-6 & & \color{red}{+} & 0 & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}-1}x+5 & & + & | & + & | & + & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & 0 & - & 0 & + & || & - & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-\infty; -3] \cup [2; 5[ $.

3) Résolution de $ \dfrac{-x^2+2x-1}{x+3} < 0 $

Valeur interdite : $ x + 3 = 0 \iff x = -3 $.
Racines numérateur : On résout $ -x^2+2x-1=0 $ :
$ \Delta = 2^2 - 4 \times (-1) \times (-1) = 4 - 4 = 0 $.
La racine double est :

$$x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-2}{2 \times (-1)} = 1$$

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & 1 & & +\infty \\ \hline {\color{red}-1}x^2+2x-1 & & \color{red}{-} & | & \color{red}{-} & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline {\color{red}1}x+3 & & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & || & - & 0 & - & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-3; 1[ \cup ]1; +\infty[ $.

Exercice 4 : Quotient avec dénominateur du second degré

Résoudre l'inéquation suivante :

1) $ \dfrac{5 - x}{-x^2 + x + 6} \le 0 $

2) $ \dfrac{x+1}{x^2-x-2} \ge 0 $

3) $ \dfrac{x}{-x^2+4x-3} > 0 $

Corrigé de l'Exercice 4

1) Résolution de $ \dfrac{5 - x}{-x^2 + x + 6} \le 0 $

Valeurs interdites : On résout le dénominateur $ -x^2+x+6=0 $ :
$ \Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 6 = 1 + 24 = 25 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt{25}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-1 - 5}{-2} = 3$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{25}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-1 + 5}{-2} = -2$$

Racine numérateur : $ -1x+5=0 \implies x = 5 $.

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 3 & & 5 & & +\infty \\ \hline {\color{red}-1}x+5 & & + & | & + & | & + & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline {\color{red}-1}x^2+x+6 & & \color{red}{-} & 0 & + & 0 & \color{red}{-} & | & \color{red}{-} & \\ \hline \text{Quotient} & & - & || & + & || & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-2; 3[ \cup [5; +\infty[ $.

2) Résolution de $ \dfrac{x+1}{x^2-x-2} \ge 0 $

Valeurs interdites : On résout le dénominateur $ x^2-x-2=0 $ :
$ \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{1 - 3}{2} = -1$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$$

Racine numérateur : $ 1x+1=0 \implies x = -1 $.

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 2 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x+1 & & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}1}x^2-x-2 & & \color{red}{+} & 0 & - & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline \text{Quotient} & & - & || & - & || & + & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]2; +\infty[ $.

3) Résolution de $ \dfrac{x}{-x^2+4x-3} > 0 $

Valeurs interdites : On résout le dénominateur $ -x^2+4x-3=0 $ :
$ \Delta = 4^2 - 4 \times (-1) \times (-3) = 16 - 12 = 4 $.

On calcule les racines :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 - \sqrt{4}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-4 - 2}{-2} = 3$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 + \sqrt{4}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-4 + 2}{-2} = 1$$

Racine numérateur : $ 1x=0 \implies x = 0 $.

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x & & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}-1}x^2+4x-3 & & \color{red}{-} & | & \color{red}{-} & 0 & + & 0 & \color{red}{-} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & 0 & - & || & + & || & - & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-\infty; 0[ \cup ]1; 3[ $.

Exercice 5 : Quotient de deux polynômes du second degré

Résoudre l'inéquation suivante :

1) $ \dfrac{x^2 - 9}{1 - x^2} > 0 $

2) $ \dfrac{x^2-10x+25}{x^2-4x} \le 0 $

Corrigé de l'Exercice 5

1) Résolution de $ \dfrac{x^2 - 9}{1 - x^2} > 0 $

Valeurs interdites : $ 1-x^2=0 \iff (1-x)(1+x)=0 \implies x = 1 \text{ ou } x = -1 $.
Racines numérateur : $ x^2-9=0 \iff (x-3)(x+3)=0 \implies x = 3 \text{ ou } x = -3 $.

$$\begin{array}{|c|ccccccccccc|} \hline x & -\infty & & -3 & & -1 & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2-9 & & \color{red}{+} & 0 & - & | & - & | & - & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}-1}x^2+1 & & \color{red}{-} & | & \color{red}{-} & 0 & + & 0 & \color{red}{-} & | & \color{red}{-} & \\ \hline \text{Quotient} & & - & 0 & + & || & - & || & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]-3; -1[ \cup ]1; 3[ $.

2) Résolution de $ \dfrac{x^2-10x+25}{x^2-4x} \le 0 $

Valeurs interdites : $ x^2-4x=0 \iff x(x-4)=0 \implies x=0, x=4 $.
Racine numérateur : $ (x-5)^2=0 \iff x=5 $.

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 4 & & 5 & & +\infty \\ \hline {\color{red}1}x^2-10x+25 & & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & 0 & \color{red}{+} & \\ \hline {\color{red}1}x^2-4x & & \color{red}{+} & 0 & - & 0 & \color{red}{+} & | & \color{red}{+} & \\ \hline \text{Quotient} & & + & || & - & || & + & 0 & + & \\ \hline \end{array}$$

L'ensemble des solutions est $ S = ]0; 4[ \cup \{5\} $.

Exercice 1 : Inéquation du second degré

Corrigé de l'Exercice 1

Exercice 2 : Inéquation quotient (avec carré)

Corrigé de l'Exercice 2

Exercice 3 : Quotient avec numérateur du second degré

Corrigé de l'Exercice 3

Exercice 4 : Quotient avec dénominateur du second degré

Corrigé de l'Exercice 4

Exercice 5 : Quotient de deux polynômes du second degré

Corrigé de l'Exercice 5

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