Équations du second degré et quotients

(E1): $\dfrac{2}{x+2} - \dfrac{3}{x+3} = 1$

1. Valeurs interdites : $x+2=0$ soit $x=-2$ et $x+3=0$ soit $x=-3$.

2. On isole le zéro : $\dfrac{2}{x+2} - \dfrac{3}{x+3} - 1 = 0$.

3. On réduit au même dénominateur $(x+2)(x+3)$ :
$\dfrac{2(x+3) - 3(x+2) - (x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)} = 0$, donc $\dfrac{2x+6-3x-6-(x^2+5x+6)}{(x+2)(x+3)} = 0$, d'où $\dfrac{-x^2-6x-6}{(x+2)(x+3)} = 0$.

4. On cherche les racines du numérateur : $-x^2-6x-6=0$ soit $x^2+6x+6=0$.
$\Delta = 6^2 - 4(1)(6) = 36-24=12$. Les racines sont $x_1 = \dfrac{-6-\sqrt{12}}{2} = -3-\sqrt{3}$ et $x_2 = -3+\sqrt{3}$.

5. Comparaison : Aucune de ces valeurs n'est interdite.
$S = \{-3-\sqrt{3}; -3+\sqrt{3}\}$

(E2): $\dfrac{2x^2-7x+3}{2x-1} = 0$

1. Valeur interdite : $2x-1=0$, soit $x=\dfrac{1}{2}$.

2 & 3. Déjà sous forme d'une fraction égale à zéro.

4. On cherche les racines du numérateur : $2x^2-7x+3=0$.
$\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49-24=25$. On obtient $x_1 = \dfrac{7-5}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{7+5}{4} = 3$.

5. Comparaison : $x_1 = \dfrac{1}{2}$ est une valeur interdite. Seule $x_2=3$ est retenue.
$S = \{3\}$

(E3): $\dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{2x-1} = 2$

1. Valeurs interdites : $x=0$ et $x=\dfrac{1}{2}$.

2. On isole le zéro : $\dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{2x-1} - 2 = 0$.

3. On réduit au même dénominateur $x(2x-1)$ :
$\dfrac{3(2x-1) - x - 2x(2x-1)}{x(2x-1)} = 0$, donc $\dfrac{6x-3-x-4x^2+2x}{x(2x-1)} = 0$, d'où $\dfrac{-4x^2+7x-3}{x(2x-1)} = 0$.

4. On cherche les racines du numérateur : $-4x^2+7x-3=0$ soit $4x^2-7x+3=0$.
$\Delta = (-7)^2 - 4(4)(3) = 49-48=1$. On obtient $x_1 = \dfrac{7-1}{8} = \dfrac{3}{4}$ et $x_2 = \dfrac{7+1}{8} = 1$.

5. Comparaison : Aucune de ces valeurs n'est interdite.
$S = \left\{\dfrac{3}{4}; 1\right\}$

(E4): $\dfrac{5}{x-1} = 3$

1. Valeur interdite : $x=1$.

2. On isole le zéro : $\dfrac{5}{x-1} - 3 = 0$.

3. On réduit au même dénominateur $(x-1)$ :
$\dfrac{5 - 3(x-1)}{x-1} = 0$, donc $\dfrac{5-3x+3}{x-1} = 0$, d'où $\dfrac{-3x+8}{x-1} = 0$.

4. On cherche les racines du numérateur : $-3x+8=0$ soit $3x=8$, d'où $x = \dfrac{8}{3}$.

5. Comparaison : Cette valeur n'est pas interdite.
$S = \left\{\dfrac{8}{3}\right\}$

(E1): $\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x - 3} = 2x + 1$

1. Valeur interdite : $x-3=0$ soit $x=3$.

2. On isole le zéro : $\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x - 3} - (2x + 1) = 0$.

3. On réduit au même dénominateur $(x-3)$ :
$\dfrac{x^2 + 2x - 15 - (2x+1)(x-3)}{x-3} = 0$, donc $\dfrac{x^2 + 2x - 15 - (2x^2 - 6x + x - 3)}{x-3} = 0$, d'où $\dfrac{-x^2 + 7x - 12}{x-3} = 0$.

4. On cherche les racines du numérateur : $-x^2+7x-12=0$ soit $x^2-7x+12=0$.
$\Delta = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49-48=1$. On obtient $x_1 = \dfrac{7-1}{2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{7+1}{2} = 4$.

5. Comparaison : $x_1 = 3$ est une valeur interdite. Seule $x_2=4$ est retenue.
$S = \{4\}$

(E2): $\dfrac{x^2 + 4}{x} = 2$

1. Valeur interdite : $x=0$.

2. On isole le zéro : $\dfrac{x^2 + 4}{x} - 2 = 0$.

3. On réduit au même dénominateur $x$ : $\dfrac{x^2 - 2x + 4}{x} = 0$.

4. On cherche les racines du numérateur : $x^2-2x+4=0$.
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4-16=-12$. Il n'y a pas de racines réelles au numérateur.

5. Comparaison : Pas de solution possible.
$S = \emptyset$

(E3): $\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x-2} = 2x - 3$

1. Valeur interdite : $x-2=0$ soit $x=2$.

2. On isole le zéro : $\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x-2} - (2x - 3) = 0$.

3. On réduit au même dénominateur $(x-2)$ :
$\dfrac{x^2 - 3x + 2 - (2x-3)(x-2)}{x-2} = 0$, donc $\dfrac{x^2 - 3x + 2 - (2x^2 - 4x - 3x + 6)}{x-2} = 0$, d'où $\dfrac{-x^2 + 4x - 4}{x-2} = 0$.

4. On cherche les racines du numérateur : $-x^2+4x-4=0$ soit $x^2-4x+4=0$, ce qui équivaut à $(x-2)^2=0$. La racine est $x=2$.

5. Comparaison : $x = 2$ est la valeur interdite.
$S = \emptyset$

(E4): $\dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x+3} = x+1$

1. Valeur interdite : $x+3=0$ soit $x=-3$.

2. On isole le zéro : $\dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x+3} - (x+1) = 0$.

3. On réduit au même dénominateur $(x+3)$ :
$\dfrac{2x^2 + 5x - 3 - (x+1)(x+3)}{x+3} = 0$, donc $\dfrac{2x^2 + 5x - 3 - (x^2 + 4x + 3)}{x+3} = 0$, d'où $\dfrac{x^2 + x - 6}{x+3} = 0$.

4. On cherche les racines du numérateur : $x^2+x-6=0$.
$\Delta = 1^2 - 4(1)(-6) = 25$. On obtient $x_1 = \dfrac{-1-5}{2} = -3$ et $x_2 = \dfrac{-1+5}{2} = 2$.

5. Comparaison : $x_1 = -3$ est une valeur interdite. Seule $x_2=2$ est retenue.
$S = \{2\}$