Forme canonique d'un polynôme
Exercice 1 : Relier chaque polynôme à sa forme canonique
Relier chaque polynôme à sa forme canonique (justifier) :
A: $-x^2 + 8x - 14$
B: $3x^2 + 12x + 13$
C: $2x^2 - 2x$
D: $2x^2 - 16x + 35$
B: $3x^2 + 12x + 13$
C: $2x^2 - 2x$
D: $2x^2 - 16x + 35$
(1): $2(x-4)^2 + 3$
(2): $3(x+2)^2 + 1$
(3): $-(x-4)^2 + 2$
(4): $2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2}$
(2): $3(x+2)^2 + 1$
(3): $-(x-4)^2 + 2$
(4): $2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2}$
Exercice 2 : Forme canonique
Mettre sous forme canonique les polynômes suivants :
$P_1(x) = -2x^2 + 4x + 16$
$P_2(x) = 3x^2 - 2x + \dfrac{4}{3}$
$P_2(x) = 3x^2 - 2x + \dfrac{4}{3}$
Exercice 3 : Étude d'une fonction polynôme
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré représentée par la parabole $(P)$ ci-contre, de sommet S.
- Par lecture graphique, déterminer la forme canonique de la fonction $f$.
- En déduire la forme développée de la fonction $f$.
- Par le calcul, déterminer les racines de la fonction $f$.
Exercice 4 : Problème du plongeon
Un plongeon est modélisé par :
$$f(x) = -0,2x^2 + 0,8x + 15,4$$
-
a) Montrer que :
$$f(x) = -0,2(x-2)^2 + 16,2$$b) Factoriser $f(x)$.
- Répondre par le calcul aux questions suivantes : quelle est la hauteur de la falaise ? À quelle distance de la falaise le plongeur touche-t-il l'eau ? Quelle est la hauteur maximale atteinte ?
Exercice 5 : Optimisation d'aire
ABCD est un carré de côté 10 cm. $AM = BN = x$. Aire triangle DMN : $A(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 5x + 50$.
- Mettre $A(x)$ sous forme canonique.
- Déterminer l'aire minimale.