Forme canonique d'un polynôme

1. Détermination de la forme canonique

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré est $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.

D'après le graphique, le sommet de la parabole est le point $S(1, 4)$. On a donc $\alpha = 1$ et $\beta = 4$.

L'expression est alors $f(x) = a(x-1)^2 + 4$.

La courbe passe par le point $A(0, 1)$. Remplaçons $x$ par 0 et $f(x)$ par 1 :

$1 = a(0-1)^2 + 4$

$1 = a(-1)^2 + 4 \implies 1 = a + 4 \implies a = -3$.

La forme canonique est donc : $f(x) = -3(x-1)^2 + 4$.

2. Détermination de la forme développée

Développons l'expression trouvée précédemment :

$f(x) = -3(x^2 - 2x + 1) + 4$

$f(x) = -3x^2 + 6x - 3 + 4$

La forme développée est : $f(x) = -3x^2 + 6x + 1$.

3. Détermination des racines par le calcul

On cherche $x$ tel que $f(x) = 0$. Utilisons la forme canonique pour résoudre cette équation :

$-3(x-1)^2 + 4 = 0$

$-3(x-1)^2 = -4 \implies (x-1)^2 = \dfrac{4}{3}$

Il y a deux solutions possibles :

$x-1 = \sqrt{\dfrac{4}{3}}$ ou $x-1 = -\sqrt{\dfrac{4}{3}}$

$x-1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ou $x-1 = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Les racines sont : $x = 1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ et $x = 1 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

1. a) Montrons que $f(x) = -0,2(x-2)^2 + 16,2$

Développons la forme proposée :

$f(x) = -0,2(x^2 - 4x + 4) + 16,2$

$f(x) = -0,2x^2 + 0,8x - 0,8 + 16,2$

$f(x) = -0,2x^2 + 0,8x + 15,4$

On retrouve bien l'expression initiale. $\text{CQFD}$.

1. b) Factorisation de $f(x)$

Partons de la forme canonique : $f(x) = -0,2\left[(x-2)^2 - \dfrac{16,2}{0,2}\right]$

$f(x) = -0,2\left[(x-2)^2 - 81\right]$

Reconnaissons une identité remarquable du type $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ :

$f(x) = -0,2\left[(x-2) - 9\right]\left[(x-2) + 9\right]$

$f(x) = -0,2(x-11)(x+7)$

2. Résolution du problème

• Hauteur de la falaise : C'est la hauteur au moment du départ, soit $x=0$.
  $f(0) = -0,2(0)^2 + 0,8(0) + 15,4 = 15,4$.
  La falaise mesure $15,4\text{ m}$.
• Distance de l'impact : On cherche $x > 0$ tel que $f(x) = 0$.
  D'après la forme factorisée, $f(x)=0$ pour $x=11$ ou $x=-7$.
  La distance étant positive, le plongeur touche l'eau à $11\text{ m}$ de la falaise.
• Hauteur maximale : La fonction $f$ est sous forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=2$ et $\beta=16,2$.
  Comme $a < 0$, la hauteur maximale est le sommet $\beta$.
  La hauteur maximale est de $16,2\text{ m}$.

1. Mise sous forme canonique de $A(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 5x + 50$

Factorisons par $a = \dfrac{1}{2}$ pour les termes en $x$ :

$A(x) = \dfrac{1}{2}\left(x^2 - 10x\right) + 50$

On reconnaît le début de l'identité remarquable $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$, d'où $x^2 - 10x = (x-5)^2 - 25$.

$A(x) = \dfrac{1}{2}\left[\left(x-5\right)^2 - 25\right] + 50$

$A(x) = \dfrac{1}{2}\left(x-5\right)^2 - 12,5 + 50$

$A(x) = \dfrac{1}{2}\left(x-5\right)^2 + 37,5$

2. Détermination de l'aire minimale

Pour justifier le minimum, dressons le tableau de variations de la fonction $A$ sur l'intervalle $[0 ; 10]$ :

D'après ce tableau, la fonction $A$ admet un minimum pour $x = 5\text{ cm}$.

La valeur de cette aire minimale est $37,5\text{ cm}^2$.