ÉVALUATION DE MATHÉMATIQUES

1. La fonction $F$ est dérivable sur $[1 ; e]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables. En posant $u(x) = x$ (donc $u'(x) = 1$) et $v(x) = \ln(x)$ (donc $v'(x) = \frac{1}{x}$), on a :
$F'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) - 1$
$F'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1$
$F'(x) = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x) = f(x)$
Puisque $F'(x) = f(x)$, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[1 ; e]$.

2. Pour prouver que $f$ est une fonction de densité sur $[1 ; e]$, elle doit respecter trois conditions :

• Continuité : La fonction $x \mapsto \ln(x)$ est continue sur $]0 ; +\infty[$, donc en particulier sur $[1 ; e]$.
• Positivité : Pour tout $x \in [1 ; e]$, on a $x \ge 1$, donc $\ln(x) \ge \ln(1) = 0$. La fonction $f$ est bien positive sur cet intervalle.
• Intégrale égale à 1 : Calculons l'aire sous la courbe :
  $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_1^e = F(e) - F(1)$
  $F(e) = e \ln(e) - e = e \times 1 - e = 0$
  $F(1) = 1 \ln(1) - 1 = 1 \times 0 - 1 = -1$
  $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \, dx = 0 - (-1) = 1$
  

Les trois conditions étant réunies, $f$ est bien une fonction de densité sur $[1 ; e]$.

3. Par définition, $P(1 \le X \le 2) = \displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1)$.
$F(2) = 2 \ln(2) - 2$
$P(1 \le X \le 2) = (2 \ln(2) - 2) - (-1) = 2 \ln(2) - 1$
Valeur exacte : $P(1 \le X \le 2) = 2 \ln(2) - 1$
Valeur approchée : $P(1 \le X \le 2) \approx 0,39$

1. L'heure d'arrivée de M. Martin est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui représente un instant réparti uniformément au hasard entre 12h et 13h. On travaille en heures décimales.
$X$ suit donc la loi uniforme sur l'intervalle $[12 ; 13]$. Sa fonction de densité est $f(x) = \dfrac{1}{13 - 12} = 1$.

2. M. Valentin arrive à 12h30, soit à $12,5$ h en heures décimales. M. Martin arrive avant lui si $X \le 12,5$.
Puisque $X \in [12 ; 13]$, on calcule :
$P(X \le 12,5) = P(12 \le X \le 12,5) = \dfrac{12,5 - 12}{13 - 12} = \dfrac{0,5}{1} = 0,5$
La probabilité que M. Martin arrive avant M. Valentin est de $0,5$ (soit $50\%$).

3. M. Valentin arrive à 12h30. Pour qu'il attende plus de 12 minutes, M. Martin doit arriver après 12h42.
Convertissons les minutes en heures décimales : $12 \text{ min} = \dfrac{12}{60} \text{ h} = 0,2 \text{ h}$.
L'heure limite est donc $12,5 + 0,2 = 12,7$ h. M. Valentin attendra plus de 12 min si $X > 12,7$.
$P(X > 12,7) = P(12,7 < X \le 13) = \dfrac{13 - 12,7}{13 - 12} = 0,3$
La probabilité que M. Valentin attende plus de 12 minutes est de $0,3$.

1. L'espérance mathématique (la moyenne) pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est donnée par la formule $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$.
$E(T) = \dfrac{1}{0,0555} \approx 18,018$
La durée de vie moyenne d'un chronomètre est d'environ $18$ mois.

2. Attention aux unités : $T$ est exprimé en mois. Un an correspond à $12$ mois et deux ans à $24$ mois. On cherche donc $P(12 \le T \le 24)$.
$P(12 \le T \le 24) = \displaystyle \int_{12}^{24} 0,0555 e^{-0,0555t} \, dt = \left[ -e^{-0,0555t} \right]_{12}^{24}$
$P(12 \le T \le 24) = -e^{-0,0555 \times 24} - \left( -e^{-0,0555 \times 12} \right)$
$P(12 \le T \le 24) = e^{-0,666} - e^{-1,332} \approx 0,5138 - 0,2639 \approx 0,2499$
La probabilité est d'environ $0,25$.

3. L'entraîneur a déjà utilisé son chronomètre pendant 2 ans (24 mois), et on s'interroge sur sa capacité à durer 1 an de plus (12 mois), soit dépasser 36 mois au total. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle : $P_{T \ge 24}(T \ge 24 + 12)$.
La loi exponentielle est une loi à « durée de vie sans vieillissement » (ou sans mémoire). Par conséquent :
$P_{T \ge 24}(T \ge 24 + 12) = P(T \ge 12)$
$P(T \ge 12) = e^{-0,0555 \times 12} = e^{-0,666} \approx 0,5138$
La probabilité qu'il fonctionne encore au moins un an de plus est d'environ $0,51$.