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ÉVALUATION DE MATHÉMATIQUES

Terminale Maths Complémentaires - Intégrales et Aires

Durée : 45 min Calculatrice autorisée

Exercice 1 : Calculs directs et formes composées (10 pts)

Partie A : Calculs directs

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

  1. $I_1 = \displaystyle \int_{1}^{2} \left( 3x^2 - 4x + 5 \right) \, dx$
  2. $I_2 = \displaystyle \int_{0}^{\ln \left( 2 \right)} e^{3x} \, dx$
  3. $I_3 = \displaystyle \int_{1}^{e} \dfrac{2}{x} \, dx$

Partie B : Formes composées

En identifiant la forme appropriée $\left( u' e^u \text{ ou } \dfrac{u'}{u} \right)$, déterminer une primitive puis calculer :

  1. $I_4 = \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx$
  2. $I_5 = \displaystyle \int_{2}^{3} \dfrac{2x + 1}{x^2 + x - 5} \, dx$

Corrigé détaillé de l'Exercice 1

Partie A : Calculs directs

1. Une primitive de la fonction est $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x$.
$I_1 = \left[ x^3 - 2x^2 + 5x \right]_1^2 = \left( 2^3 - 2 \left( 2^2 \right) + 5 \left( 2 \right) \right) - \left( 1^3 - 2 \left( 1^2 \right) + 5 \left( 1 \right) \right)$
$I_1 = \left( 8 - 8 + 10 \right) - \left( 1 - 2 + 5 \right) = 10 - 4 = 6$
$I_1 = 6$

2. Une primitive de $x \mapsto e^{ax}$ est $x \mapsto \dfrac{1}{a}e^{ax}$. On a donc :
$I_2 = \left[ \dfrac{1}{3}e^{3x} \right]_0^{\ln \left( 2 \right)} = \dfrac{1}{3}e^{3\ln \left( 2 \right)} - \dfrac{1}{3}e^0 = \dfrac{1}{3} \left( e^{\ln \left( 2 \right)} \right)^3 - \dfrac{1}{3} \times 1$
$I_2 = \dfrac{1}{3} \times 2^3 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$
$I_2 = \dfrac{7}{3}$

3. Une primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $\left] 0 ; +\infty \right[$ est $x \mapsto \ln \left( x \right)$.
$I_3 = 2 \displaystyle \int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \, dx = 2 \left[ \ln \left( x \right) \right]_1^e = 2 \left( \ln \left( e \right) - \ln \left( 1 \right) \right) = 2 \left( 1 - 0 \right) = 2$
$I_3 = 2$

Partie B : Formes composées

4. On reconnaît la forme $u' e^u$. Posons $u(x) = x^2$, alors $u'(x) = 2x$.
On peut écrire : $x e^{x^2} = \dfrac{1}{2} \times 2x e^{x^2} = \dfrac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}$.
Une primitive est donc $\dfrac{1}{2} e^{u(x)} = \dfrac{1}{2} e^{x^2}$.
$I_4 = \left[ \dfrac{1}{2} e^{x^2} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2} e^{1^2} - \dfrac{1}{2} e^{0^2} = \dfrac{1}{2} e - \dfrac{1}{2}$
$I_4 = \dfrac{e - 1}{2}$

5. On reconnaît la forme $\dfrac{u'}{u}$. Posons $u(x) = x^2 + x - 5$, alors $u'(x) = 2x + 1$.
Sur l'intervalle $\left[ 2 ; 3 \right]$, $u(x)$ est strictement positif. Une primitive est donc $\ln \left( u(x) \right) = \ln \left( x^2 + x - 5 \right)$.
$I_5 = \left[ \ln \left( x^2 + x - 5 \right) \right]_2^3 = \ln \left( 3^2 + 3 - 5 \right) - \ln \left( 2^2 + 2 - 5 \right) = \ln \left( 7 \right) - \ln \left( 1 \right)$
Comme $\ln \left( 1 \right) = 0$, on obtient :
$I_5 = \ln \left( 7 \right)$

Exercice 2 : Aires et Intégrales (10 pts)

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ 0 ; 4 \right]$ par :

$f \left( x \right) = x^2 - 4x + 3$

  1. Étudier le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ 0 ; 4 \right]$.
  2. Sur le graphique ci-dessous, hachurer le domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.
0 1 2 3 4 1 2 3 -1 x y
  1. En utilisant la relation de Chasles, calculer la valeur exacte de l'aire totale de ce domaine (en unités d'aire).

Corrigé détaillé de l'Exercice 2

1. Signe de $f$ :
$f$ est un trinôme du second degré. Son discriminant est $\Delta = \left( -4 \right)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$.
$\Delta > 0$, donc l'équation $f(x) = 0$ admet deux racines réelles :
$x_1 = \dfrac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3$
Le coefficient $a = 1$ est strictement positif, le trinôme est donc positif à l'extérieur de ses racines et négatif entre ses racines. Sur l'intervalle $\left[ 0 ; 4 \right]$, on a donc :

  • $f(x) \ge 0$ sur $\left[ 0 ; 1 \right] \cup \left[ 3 ; 4 \right]$
  • $f(x) \le 0$ sur $\left[ 1 ; 3 \right]$

2. Domaine hachuré :

0 1 2 3 4 1 2 3 -1 x y

3. Calcul de l'aire totale $\mathcal{A}$ :
Puisque la fonction change de signe, on doit décomposer le calcul de l'aire à l'aide de la relation de Chasles pour s'assurer d'intégrer des quantités positives :
$\mathcal{A} = \displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx$

Soit $F$ la primitive de $f$ définie par $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$. Calculons les valeurs de $F$ :

  • $F(0) = 0$
  • $F(1) = \dfrac{1}{3} - 2 + 3 = \dfrac{4}{3}$
  • $F(3) = \dfrac{27}{3} - 2 \left( 9 \right) + 3 \left( 3 \right) = 9 - 18 + 9 = 0$
  • $F(4) = \dfrac{64}{3} - 2 \left( 16 \right) + 3 \left( 4 \right) = \dfrac{64}{3} - 32 + 12 = \dfrac{64}{3} - 20 = \dfrac{64 - 60}{3} = \dfrac{4}{3}$

Ainsi, les valeurs des intégrales sont :

  • $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \dfrac{4}{3} - 0 = \dfrac{4}{3}$
  • $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = 0 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{4}{3}$
  • $\displaystyle \int_{3}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(3) = \dfrac{4}{3} - 0 = \dfrac{4}{3}$

On remplace pour trouver l'aire totale :
$\mathcal{A} = \dfrac{4}{3} - \left( -\dfrac{4}{3} \right) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$
$\mathcal{A} = 4 \text{ u.a.}$