Interrogation de Mathématiques

Terminale Maths Complémentaires : Primitives et Équations Différentielles

Durée : 50 minutes Calculatrice autorisée

Exercice 1

10 pts

Partie A Primitives usuelles simples

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ donné :

1) $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $I = \mathbb{R}$

2) $g(x) = e^{2x} - \dfrac{3}{x}$ sur $I = ]0;+\infty[$

Partie B Primitives et formes composées

En identifiant la forme appropriée ($u'e^u$, $\dfrac{u'}{u}$, $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ ou $\dfrac{u'}{u^n}$), déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $I$ :

$h(x) = xe^{x^2}$ sur $I = \mathbb{R}$
$i(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$ sur $I = \mathbb{R}$
$j(x) = \dfrac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$ sur $I = \mathbb{R}$
$k(x) = \dfrac{6x}{(3x^2+2)^2}$ sur $I = \mathbb{R}$

Partie A

1) $F(x) = 3 \times \dfrac{x^3}{3} - 4 \times \dfrac{x^2}{2} + 5x + C = \text{\color{#D93025} }x^3 - 2x^2 + 5x + C$.

2) Une primitive de $e^{ax}$ est $\dfrac{1}{a}e^{ax}$. On a $a=2$.
$G(x) = \text{\color{#D93025} }\dfrac{1}{2}e^{2x} - 3\ln(x) + C$.

Partie B

1) On pose $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$.
$h(x) = \dfrac{1}{2} \times 2xe^{x^2} = \dfrac{1}{2}u'(x)e^{u(x)}$.
donc $H(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$

2) Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2+x+1$ (toujours positif).
donc $I(x) = \ln\left(x^2+x+1\right) + C$

3) On pose $u(x) = x^2+1$ donc $u'(x) = 2x$.
$j(x) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{3}{2} \dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$.
Une primitive de $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ est $2\sqrt{u}$.
$J(x) = \dfrac{3}{2} \times 2\sqrt{x^2+1} = \text{\color{#D93025} }3\sqrt{x^2+1} + C$.

4) Forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x) = 3x^2+2$ et $u'(x) = 6x$.
Une primitive de $\dfrac{u'}{u^2}$ est $-\dfrac{1}{u}$.
donc $K(x) = -\dfrac{1}{3x^2+2} + C$

Exercice 2

10 pts

Résoudre les équations différentielles ci-dessous :

$(E_1) : y' = 4y$
$(E_2) : y' + 3y = 6$ avec la condition initiale $y(0) = 5$
$(E_3) : 2y' = y - 3$ avec la condition initiale $y(1) = 2$

Application : Loi de Newton

4) Selon la loi de refroidissement de Newton, la température $T(t)$ d'un objet vérifie :
$T'(t) = -0,2\left( T(t) - 20 \right)$ avec $T(0) = 80$.
Déterminer l'expression de $T(t)$ pour tout $t \ge 0$.

Question 1

Forme $y' = ay$ avec $a=4$.
Les solutions sont $y(x) = Ke^{4x}$ ($K \in \mathbb{R}$).

Question 2

Forme $y' = -3y + 6$. Solutions : $y(x) = Ke^{-3x} - \dfrac{6}{-3} = Ke^{-3x} + 2$.
$y(0) = 5 \iff K + 2 = 5 \iff K = 3$.
L'unique solution est $y(x) = 3e^{-3x} + 2$.

Question 3

$2y' = y - 3 \iff y' = \dfrac{1}{2}y - \dfrac{3}{2}$. Ici $a = \dfrac{1}{2}$ et $b = -\dfrac{3}{2}$.
Solutions : $y(x) = Ke^{\frac{1}{2}x} - \dfrac{-3/2}{1/2} = Ke^{\frac{1}{2}x} + 3$.
$y(1) = 2 \iff Ke^{\frac{1}{2}} + 3 = 2 \iff Ke^{\frac{1}{2}} = -1 \iff K = -\dfrac{1}{e^{1/2}} = -e^{-1/2}$.
Unique solution : $y(x) = -e^{\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}} + 3$.

Question 4 (Newton)

$T'(t) = -0,2T(t) + 4$. C'est $y' = ay+b$ avec $a = -0,2$ et $b = 4$.
$T(t) = Ke^{-0,2t} - \dfrac{4}{-0,2} = Ke^{-0,2t} + 20$.
$T(0) = 80 \iff K + 20 = 80 \iff K = 60$.
Expression : $T(t) = 60e^{-0,2t} + 20$.