DS Loi Uniforme et Binomiale Corrigé

Exercice 1 : Le jeu de rôle et le dé à 12 faces (6 points)

Dans un jeu de rôle, les joueurs utilisent un dé équilibré à 12 faces, numérotées de 1 à 12. On note $D$ la variable aléatoire correspondant au résultat.

Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable $D$ ? Justifier.
Calculer la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 10.
Calculer l'espérance $E(D)$. Interpréter ce résultat.
Le maître du jeu propose un défi : Le joueur mise 2 pièces d'or.
- Si le résultat est un multiple de 3, le joueur gagne 5 pièces d'or (et récupère sa mise).
- Sinon, le joueur perd sa mise.
On note $G$ la variable aléatoire du gain réel.
1. Quelles sont les valeurs prises par $G$ ?
2. Ce jeu est-il favorable au joueur sur le long terme ? Justifier par un calcul d'espérance.

Corrigé détaillé de l'Exercice 1

1. Le dé est équilibré et possède 12 faces. Chaque face a la même probabilité d'apparition.
Donc $D$ suit la loi uniforme discrète sur l'ensemble $\{1 ; 2 ; ... ; 12\}$.
Pour tout $k \in \{1;...;12\}$, $P(D=k) = \dfrac{1}{12}$.

2. L'événement "obtenir un résultat supérieur ou égal à 10" correspond à $D \in \{10 ; 11 ; 12\}$.
Il y a 3 issues favorables sur 12 possibles.
$P(D \ge 10) = \dfrac{3}{12} = $ $\dfrac{1}{4}$.

3. Pour une loi uniforme sur $\{1;...;n\}$, l'espérance est $\dfrac{n+1}{2}$.
Ici $n=12$, donc $E(D) = \dfrac{1+12}{2} = \dfrac{13}{2} = $ $6,5$.
Interprétation : Sur un très grand nombre de lancers, la moyenne des résultats obtenus sera proche de 6,5.

4.a) - Si le joueur gagne : il reçoit 5 pièces et récupère sa mise de 2. Son gain net est $5$ (l'énoncé dit "gagne 5 pièces").
Note : Si l'énoncé est interprété comme "reçoit 5 au total", le gain serait $5-2=3$. Ici "gagne 5 et récupère sa mise" implique un profit pur de 5.
- Si le joueur perd : il perd sa mise de 2. Son gain est $-2$.
Les valeurs prises par $G$ sont $\{-2 ; 5\}$.

4.b) Les multiples de 3 entre 1 et 12 sont : $\{3 ; 6 ; 9 ; 12\}$. Il y a 4 issues favorables.
$P(\text{Gagne}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.
$P(\text{Perd}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
Calcul de l'espérance :
$E(G) = 5 \times \dfrac{1}{3} + (-2) \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}$.
Comme $E(G) > 0$ ($\approx 0,33$), le jeu est favorable au joueur sur le long terme.

Exercice 2 : Puissances et Coefficients Binomiaux (6 points)

Compléter le tableau des coefficients binomiaux jusqu'à la ligne $n=5$ (Triangle de Pascal).
Développer, réduire et ordonner l'expression : $A(x) = (1-x)^5$.
Développer, réduire et ordonner l'expression : $B(x) = (2+3x)^4$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 2

1. Tableau de Pascal :
Chaque nombre est la somme de celui au-dessus et de celui au-dessus à gauche.

n \ k	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1

2. Développement de $A(x) = (1-x)^5$ :
On utilise la ligne $n=5$ : 1, 5, 10, 10, 5, 1.
$A(x) = 1(1)^5(-x)^0 + 5(1)^4(-x)^1 + 10(1)^3(-x)^2 + 10(1)^2(-x)^3 + 5(1)^1(-x)^4 + 1(-x)^5$.
Attention aux signes alternés dus aux puissances impaires de $(-x)$.
$A(x) = 1 - 5x + 10x^2 - 10x^3 + 5x^4 - x^5$.

3. Développement de $B(x) = (2+3x)^4$ :
On utilise la ligne $n=4$ : 1, 4, 6, 4, 1.
$B(x) = 1(2)^4 + 4(2)^3(3x)^1 + 6(2)^2(3x)^2 + 4(2)^1(3x)^3 + 1(3x)^4$
Calculons chaque terme :
- $1 \times 16 = 16$
- $4 \times 8 \times 3x = 96x$
- $6 \times 4 \times 9x^2 = 216x^2$
- $4 \times 2 \times 27x^3 = 216x^3$
- $1 \times 81x^4 = 81x^4$
$B(x) = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16$.

Exercice 3 : Pratique sportive au lycée (8 points)

Effectifs : Voie Générale (G) 60%, Voie Technologique (T) reste.
Sport : 70% des G, 45% des T. On note S l'événement "pratique un sport".

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité $P(G \cap S)$.
Démontrer que $P(S) = 0,6$.
On constitue un groupe de 8 élèves (tirage avec remise). $X$ est le nombre de sportifs.
1. Justifier la loi suivie par $X$ et ses paramètres.
2. Calculer $P(X=5)$.
3. Calculer $P(X \ge 2)$.
4. Calculer $E(X)$ et interpréter.

Corrigé détaillé de l'Exercice 3

1. Arbre pondéré :
Données : $P(G) = 0,6$ donc $P(T) = 1 - 0,6 = 0,4$.
$P_G(S) = 0,7$ et $P_T(S) = 0,45$.

2. $P(G \cap S) = P(G) \times P_G(S) = 0,6 \times 0,7 = $ $0,42$.

3. D'après la formule des probabilités totales :
$P(S) = P(G \cap S) + P(T \cap S)$
$P(S) = 0,42 + P(T) \times P_T(S) = 0,42 + 0,4 \times 0,45$.
$P(S) = 0,42 + 0,18 = $ $0,6$. (Ce qu'il fallait démontrer).

4.a) Loi Binomiale
On répète 8 fois de manière indépendante (tirage avec remise) une épreuve de Bernoulli (interroger un élève) dont le succès est $S$ ("l'élève fait du sport") de probabilité $p=0,6$.
$X$ compte le nombre de succès.
Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(8 ; 0,6)$.

4.b) $P(X=5) = \binom{8}{5} \times 0,6^5 \times (1-0,6)^{8-5}$
$P(X=5) = 56 \times 0,6^5 \times 0,4^3 \approx$ $0,279$.

4.c) "Au moins 2 élèves" correspond à $X \ge 2$.
On passe par l'événement contraire : $P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))$.
$P(X=0) = 0,4^8 \approx 0,00066$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} \times 0,6^1 \times 0,4^7 = 8 \times 0,6 \times 0,4^7 \approx 0,00786$.
$P(X \ge 2) = 1 - (0,00066 + 0,00786) = 1 - 0,00852 \approx$ $0,991$.