D.S de MATHÉMATIQUES

1. Représentation graphique :
- Sur $[0; 2[$, c'est la droite $y = -x+3$. Points : $(0, 3)$ et $(2, 1)$ (exclu).
- Sur $[2; 4]$, c'est la parabole $y = x^2-4x+6$. Sommet en $x = \dfrac{-(-4)}{2} = 2$. Points : $(2, 2)$, $(3, 3)$, $(4, 6)$.

2. Continuité :
$\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = 1$ et $f(2) = 2$.
Comme la limite à gauche est différente de la valeur en 2, la fonction présente une rupture (saut).
Donc la fonction $f$ n'est pas continue sur $[0; 4]$.

1. Domaine de définition
$g(x)$ existe si le dénominateur est non nul : $x^2 - 2x - 3 \neq 0$.
Calculons le discriminant du trinôme $x^2 - 2x - 3$ :
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.
Comme $\Delta > 0$, le trinôme admet deux racines distinctes :
$x_1 = \dfrac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \times 1} = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \times 1} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$.
Donc $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1; 3\} = ]-\infty; -1[ \cup ]-1; 3[ \cup ]3; +\infty[$.

2. Limites et Asymptotes
- En $\pm \infty$ :
$g(x) = \dfrac{x^2\left(1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)} = \dfrac{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}}{1-\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^2}}$.
Comme $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x} = 0$, on a $\lim\limits_{x \to \pm\infty} g(x) = 1$.
On en déduit une asymptote horizontale d'équation $y=1$.

- En $-1$ :
Numérateur : $(-1)^2 + 3(-1) + 4 = 2$.
Dénominateur : Le trinôme $x^2-2x-3$ est positif à l'extérieur des racines ($x < -1$) et négatif entre les racines ($x > -1$).
$\lim\limits_{x \to -1^-} (x^2-2x-3) = 0^+$ donc $\lim\limits_{x \to -1^-} g(x) = +\infty$.
$\lim\limits_{x \to -1^+} (x^2-2x-3) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x \to -1^+} g(x) = -\infty$.
Donc la droite d'équation $x=-1$ est asymptote verticale.

- En $3$ :
Numérateur : $3^2 + 3(3) + 4 = 22$.
$\lim\limits_{x \to 3^-} (x^2-2x-3) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x \to 3^-} g(x) = -\infty$.
$\lim\limits_{x \to 3^+} (x^2-2x-3) = 0^+$ donc $\lim\limits_{x \to 3^+} g(x) = +\infty$.
Donc la droite d'équation $x=3$ est asymptote verticale.

3.a) Dérivée
$g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2+3x+4$ et $v(x)=x^2-2x-3$.
$u'(x)=2x+3$ et $v'(x)=2x-2$.
$g'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{(2x+3)(x^2-2x-3) - (x^2+3x+4)(2x-2)}{(x^2-2x-3)^2}$.
Développons le numérateur :
$(2x^3-4x^2-6x+3x^2-6x-9) - (2x^3-2x^2+6x^2-6x+8x-8)$
$= (2x^3-x^2-12x-9) - (2x^3+4x^2+2x-8)$
$= 2x^3-x^2-12x-9 - 2x^3-4x^2-2x+8$
$= -5x^2-14x-1$.
On obtient bien $g'(x) = \dfrac{-5x^2-14x-1}{(x^2-2x-3)^2}$.

3.b) Signe et Variations
Le dénominateur $(x^2-2x-3)^2$ est strictement positif sur $D_g$. Le signe de $g'(x)$ dépend donc uniquement de $-5x^2-14x-1$.
$\Delta' = (-14)^2 - 4(-5)(-1) = 196 - 20 = 176$.
$\Delta' > 0$, deux racines :
$x_b = \dfrac{14 + \sqrt{176}}{-10} \approx -2,73$ et $x_a = \dfrac{14 - \sqrt{176}}{-10} \approx -0,07$.
Comme $a=-5 < 0$, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre.

4.a) Théorème des Valeurs Intermédiaires
Nous cherchons à résoudre $g(x)=2$ sur $]-\infty; -1[$.
Sur cet intervalle, la fonction n'est pas monotone, il faut couper en $x_b \approx -2,73$.
- Sur $]-\infty; x_b]$, $g$ est continue et strictement décroissante. $g(]-\infty; x_b]) = [0,33; 1[$. Comme $2 \notin [0,33; 1[$, pas de solution sur cet intervalle.
- Sur $[x_b; -1[$, $g$ est continue et strictement croissante.
$g(x_b) \approx 0,33$ et $\lim\limits_{x \to -1^-} g(x) = +\infty$.
L'intervalle image est $[0,33; +\infty[$.
Comme $2 \in [0,33; +\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[x_b; -1[$.
Conclusion : L'équation $g(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-\infty; -1[$.

4.b) Valeur approchée
À la calculatrice, en utilisant le menu Table :
$g(-1,3) \approx 1,39 < 2$
$g(-1,2) \approx 2,19 > 2$
Donc $-1,3 < \alpha < -1,2$.
En affinant :
$g(-1,23) \approx 1,89$
$g(-1,22) \approx 2,01$
La valeur la plus proche de 2 est obtenue pour $\alpha \approx -1,22$.