D.S de MATHÉMATIQUES

1) Représentation graphique
La fonction est définie par morceaux :
- Si \(x < 2\), \(f(x) = -x + 3\). C'est une fonction affine représentée par une droite.
- Si \(x \ge 2\), \(f(x) = x^2 - 4x + 6\). C'est une portion de parabole.

2) Continuité sur \([0 ; 4]\)
La fonction est composée de fonctions polynômes continues sur leurs intervalles respectifs. Le seul problème potentiel est au point de raccord \(x = 2\).
Calculons les limites à gauche et à droite en 2 :
- Limite à gauche : \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} (-x + 3) = -2 + 3 = 1\).
- Valeur en 2 (et limite à droite) : \(f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2\).
Puisque \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) \neq f(2)\) (\(1 \neq 2\)), la fonction n'est pas continue en \(x=2\), et donc pas continue sur \([0 ; 4]\).

1) Domaine de définition
On cherche les racines du dénominateur \(x^2 - 2x - 3\).
\(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16\). Racines : \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 3\).
Donc \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 3\}\).

2) Limites et asymptotes
En \(\pm \infty\) (Méthode de factorisation) :
On factorise par le terme de plus haut degré : \(g(x) = \dfrac{x^2(1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^2})}{x^2(1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^2})} = \dfrac{1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^2}}{1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^2}}\).
Or \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{1}{x} = 0\), donc \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} g(x) = 1\).
Interprétation : La droite \(y = 1\) est asymptote horizontale.

Limites aux valeurs interdites (-1 et 3) :
Le signe de \(x^2 - 2x - 3\) est positif à l'extérieur des racines (\(-1\) et \(3\)) et négatif entre elles.
- En \(-1\) : Numérateur \(\to 2\) (positif). Dénominateur \(\to 0^+\) (à gauche) et \(0^-\) (à droite).
Donc \(\lim\limits_{x \to -1^-} g(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -1^+} g(x) = -\infty\). (Asymptote verticale \(x=-1\)).
- En \(3\) : Numérateur \(\to 22\) (positif). Dénominateur \(\to 0^-\) (à gauche) et \(0^+\) (à droite).
Donc \(\lim\limits_{x \to 3^-} g(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to 3^+} g(x) = +\infty\). (Asymptote verticale \(x=3\)).

3) a) Dérivée
Avec \(u(x) = x^2 + 3x + 4\) et \(v(x) = x^2 - 2x - 3\), on a \(u'(x) = 2x+3\) et \(v'(x)=2x-2\).
Après calculs et développement du numérateur de \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), on trouve bien :
\(g'(x) = \dfrac{-5x^2 - 14x - 1}{(x^2 - 2x - 3)^2}\).

3) b) Signe et tableau de variation
Le dénominateur \((x^2 - 2x - 3)^2\) étant un carré, il est strictement positif sur \(D_g\). Le signe de \(g'(x)\) est donc identique à celui de son numérateur \(-5x^2 - 14x - 1\).
Calculons les racines de ce polynôme :
\(\Delta = (-14)^2 - 4(-5)(-1) = 196 - 20 = 176\).
Les racines sont :
\(x_1 = \dfrac{14 + \sqrt{176}}{-10} = \dfrac{-7 - 2\sqrt{11}}{5} \approx -2,73\)
\(x_2 = \dfrac{14 - \sqrt{176}}{-10} = \dfrac{-7 + 2\sqrt{11}}{5} \approx -0,07\)
Le polynôme est du signe de \(a=-5\) (négatif) à l'extérieur des racines.

4) Application du TVI
a) Existence et unicité :
Sur \(]-\infty ; -1[\), \(g\) admet un minimum local en \(x_1\) qui vaut environ \(0,33\).
- Sur \(]-\infty ; x_1]\), \(g\) décroît de 1 à \(0,33\). \(2 \notin [0,33 ; 1[\), pas de solution.
- Sur \([x_1 ; -1[\), \(g\) est continue et strictement croissante de \(0,33\) vers \(+\infty\). Comme \(2 \in [0,33 ; +\infty[\), d'après le TVI, il existe une unique solution \(\alpha\).
b) Valeur approchée :
À la calculatrice, on trouve \(\alpha \approx -1,22\).