D.S de MATHÉMATIQUES

1. On a une forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ».
On factorise par le terme de plus haut degré $x^3$ :
$2x^3 - 5x^2 + 1 = x^3 \left(2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^3}\right)$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^3}\right) = 2$ car $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$.
Par produit des limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 1) = +\infty$.

2. On a une forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ».
On factorise le numérateur par $x^2$ et le dénominateur par $x^3$ :
$\dfrac{3x^2 - 1}{x^3 + 2x} = \dfrac{x^2\left(3 - \dfrac{1}{x^2}\right)}{x^3\left(1 + \dfrac{2}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{3 - \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{2}{x^2}}$.
On sait que $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$, $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(3 - \dfrac{1}{x^2}\right) = 3$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x^2}\right) = 1$.
Par produit et quotient : $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{3x^2 - 1}{x^3 + 2x} = 0$.

3. On a une forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ».
On factorise le numérateur et le dénominateur par $x^4$ :
$\dfrac{-5x^4 + 2x^2 - 1}{2x^4 - 3x + 7} = \dfrac{x^4\left(-5 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{x^4}\right)}{x^4\left(2 - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{7}{x^4}\right)} = \dfrac{-5 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{x^4}}{2 - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{7}{x^4}}$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-5 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{x^4}\right) = -5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(2 - \dfrac{3}{x^3} + \dfrac{7}{x^4}\right) = 2$.
Par quotient des limites : La limite est $-2,5$.

4. Limite en $1^+$ (c'est-à-dire pour $x > 1$).
- Limite du numérateur : $\lim\limits_{x \to 1} (3x+2) = 5$.
- Limite du dénominateur : D'après le tableau de signe, pour $x \in ]1;4[$, $D(x)$ est négatif. Donc $x^2-5x+4 \to 0^-$.
Par quotient d'un réel positif par $0^-$ : $\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{3x + 2}{x^2 - 5x + 4} = -\infty$.

5. Limite en $4^-$ (c'est-à-dire pour $x < 4$).
- Limite du numérateur : $\lim\limits_{x \to 4} (3x+2) = 14$.
- Limite du dénominateur : D'après le tableau, pour $x$ proche de 4 et inférieur à 4, $D(x)$ est négatif. Donc $x^2-5x+4 \to 0^-$.
Par quotient d'un réel positif par $0^-$ : $\lim\limits_{x \to 4^-} \dfrac{3x + 2}{x^2 - 5x + 4} = -\infty$.

1. Limites aux bornes
- En $\pm \infty$ : $g(x) = \dfrac{2x-1}{x+3}$. Comme c'est une fonction rationnelle, la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.
$\lim\limits_{x \to \pm\infty} g(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x}{x} = 2$.
Interprétation : La droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale.

- En $-3$ :
$\lim\limits_{x \to -3} (2x-1) = -7$.
$\lim\limits_{x \to -3} (x+3) = 0$.
Étude du signe de $x+3$ :
Si $x < -3$, $x+3 < 0$ ($0^-$). Le quotient $\dfrac{-7}{0^-}$ tend vers $+\infty$.
Si $x > -3$, $x+3 > 0$ ($0^+$). Le quotient $\dfrac{-7}{0^+}$ tend vers $-\infty$.
Interprétation : La droite d'équation $x=-3$ est asymptote verticale.

2. Dérivée et signe
On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x+3$. On a $u'(x)=2$ et $v'(x)=1$.
$g'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$g'(x) = \dfrac{2(x+3) - (2x-1)(1)}{(x+3)^2}$
$g'(x) = \dfrac{2x + 6 - 2x + 1}{(x+3)^2}$
$g'(x) = \dfrac{7}{(x+3)^2}$.
Le dénominateur est un carré strictement positif pour $x \ne -3$, et le numérateur $7$ est positif. Donc $g'(x) > 0$.
La fonction est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.

3. Tableau de variation

4. Tangente en 1
L'équation de la tangente au point d'abscisse $a=1$ est donnée par $y = g'(1)(x-1) + g(1)$.
Calcul de $g(1)$ : $g(1) = \dfrac{2(1)-1}{1+3} = \dfrac{1}{4}$.
Calcul de $g'(1)$ : $g'(1) = \dfrac{7}{(1+3)^2} = \dfrac{7}{16}$.
Remplacement :
$y = \dfrac{7}{16}(x-1) + \dfrac{1}{4}$
$y = \dfrac{7}{16}x - \dfrac{7}{16} + \dfrac{4}{16}$ (mise au même dénominateur)
L'équation réduite est $y = \dfrac{7}{16}x - \dfrac{3}{16}$.