DS02 Corrigé : Suites et Limites

Exercice 1 : Calculs de limites (6 pts)

Déterminer la limite des suites ci-dessous en utilisant les propriétés du cours :

$u_n = -3n^3 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$v_n = \dfrac{2n^2-3n+4}{3n^2+5}$
$W_n = n^4 - 2n^2$

Corrigé détaillé de l'Exercice 1

1. On a $\lim\limits_{n \to +\infty} -3n^3 = -\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$.
Par somme des limites, on obtient : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

2. C'est une forme indéterminée « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». Factorisons par le terme de plus haut degré ($n^2$) :
$v_n = \dfrac{n^2\left(2-\dfrac{3}{n}+\dfrac{4}{n^2}\right)}{n^2\left(3+\dfrac{5}{n^2}\right)} = \dfrac{2-\dfrac{3}{n}+\dfrac{4}{n^2}}{3+\dfrac{5}{n^2}}$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(2-\dfrac{3}{n}+\dfrac{4}{n^2}\right) = 2$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(3+\dfrac{5}{n^2}\right) = 3$.
Donc, par quotient : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{2}{3}$.

3. C'est une forme indéterminée « $+\infty - \infty$ ». Factorisons par le terme de plus haut degré ($n^4$) :
$W_n = n^4 \left(1 - \dfrac{2}{n^2}\right)$.
On sait que $\lim\limits_{n \to +\infty} n^4 = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 - \dfrac{2}{n^2}\right) = 1$.
Par produit, on obtient : $\lim\limits_{n \to +\infty} W_n = +\infty$.

Exercice 2 : Suite géométrique (5 pts)

On considère une suite géométrique $(u_{n})$ telle que $u_{2}=12$ et $u_{4}=3$.

Déterminer la raison positive $q$ de $(u_{n})$ puis le premier terme $u_{0}$.
En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$.
Calculer la limite de $(u_{n})$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 2

1. Comme $(u_n)$ est géométrique, on a $u_4 = u_2 \times q^{4-2}$.
$3 = 12 \times q^2 \iff q^2 = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
Comme la raison $q$ est positive, on a $q = \dfrac{1}{2}$.
Pour le premier terme $u_0$ : $u_2 = u_0 \times q^2 \iff 12 = u_0 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)$.
Donc $u_0 = 12 \times 4 = $ $48$.

2. Le terme général est donné par $u_n = u_0 \times q^n$.
Donc $u_n = 48 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

3. On a $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, donc la suite géométrique $\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$ converge vers 0.
Par conséquent : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Exercice 3 : Suite arithmétique (4 pts)

On considère la suite $(u_{n})$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n}+5$ et $u_{0}=2$.

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
Calculer la limite de $(u_{n})$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 3

1. La relation $u_{n+1} = u_n + 5$ caractérise une suite arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_0=2$.
La formule explicite est $u_n = u_0 + nr$.
Donc $u_n = 2 + 5n$.

2. On sait que $\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty$.
Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Exercice 4 : Suite arithmético-géométrique (5 pts)

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+3$.

Soit la suite $(v_{n})$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $v_{n}=u_{n}-6$. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique.
Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.

Corrigé détaillé de l'Exercice 4

1. Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, exprimons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \left(\dfrac{1}{2}u_n + 3\right) - 6 = \dfrac{1}{2}u_n - 3$.
Factorisons par $\dfrac{1}{2}$ : $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n - 6)$.
Or $u_n - 6 = v_n$, donc $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$.
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$.
Son premier terme est $v_0 = u_0 - 6 = 10 - 6 = 4$.

2. Expression de $v_n$ :
$v_n = v_0 \times q^n \Rightarrow v_n = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
Expression de $u_n$ :
Comme $v_n = u_n - 6$, on a $u_n = v_n + 6$.
D'où $u_n = 4 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 6$.