D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Densité de probabilité et convexité
Exercice 1 (6 pts)
La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique fabriqué dans une usine suit une loi de densité $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{9}x^2$ sur l'intervalle $[0;3]$.
On donnera les valeurs exactes des probabilités.
1) Montrer que $f$ définit bien une fonction de densité de probabilité sur $[0;3]$.
2) Quelle est la probabilité $P_1$ que le composant soit hors d'usage avant un an ?
3) Quelle est la probabilité $P_2$ qu'il casse pendant la deuxième année ?
1)
- $f$ est continue sur $[0;3]$ car c'est une fonction polynôme.
- $f(x) = \dfrac{2}{3}x \left(1 - \dfrac{1}{3}x\right)$. Pour $x \in [0;3]$, $x \ge 0$ et $1-\dfrac{x}{3} \ge 0$. Donc $f(x) \ge 0$.
- Calculons l'intégrale : $F(x) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{x^3}{3} = \dfrac{1}{3}x^2 - \dfrac{2}{27}x^3$.
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, \mathrm{d}x = F(3) - F(0) = \left(\dfrac{1}{3}(3)^2 - \dfrac{2}{27}(3)^3\right) - 0 = 3 - 2 = 1$.
2)
$P_1 = P(X \le 1) = \displaystyle \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x = F(1) - F(0)$.
$P_1 = \left(\dfrac{1}{3}(1)^2 - \dfrac{2}{27}(1)^3\right) - 0 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{27} = \dfrac{9}{27} - \dfrac{2}{27}$.
donc $P_1 = \dfrac{7}{27}$
3)
$P_2 = P(1 \le X \le 2) = \displaystyle \int_1^2 f(x) \, \mathrm{d}x = F(2) - F(1)$.
$F(2) = \dfrac{1}{3}(2)^2 - \dfrac{2}{27}(2)^3 = \dfrac{4}{3} - \dfrac{16}{27} = \dfrac{36}{27} - \dfrac{16}{27} = \dfrac{20}{27}$.
$P_2 = \dfrac{20}{27} - \dfrac{7}{27}$.
donc $P_2 = \dfrac{13}{27}$
Exercice 2 (14 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur $[0,5 ; 10]$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
1) a) Montrer que pour tout $x \in [0,5 ; 10]$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.
b) Étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire le tableau de variation de $f$.
2) a) Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
b) Tracer $(T)$ sur le graphique ci-dessus (reproduction sommaire sur copie).
3) a) Montrer que pour tout $x \in [0,5 ; 10]$, $f''(x)=\dfrac{-3+2\ln x}{x^3}$.
b) Étudier le signe de $f''(x)$.
c) En déduire que $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion $E$. Préciser ses coordonnées exactes.
d) Que peut-on dire de la position de la tangente en $E$ par rapport à la courbe ?
1) a)
On pose $u(x)=\ln x$ ($u'=1/x$) et $v(x)=x$ ($v'=1$).
$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
donc $f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$
1) b)
Sur $[0,5 ; 10]$, $x^2 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ dépend de $1 - \ln x$.
$1 - \ln x \ge 0 \iff 1 \ge \ln x \iff e \ge x$.
2)
a) $y = f'(1)(x-1) + f(1)$.
$f(1) = \dfrac{\ln 1}{1} = 0$. $f'(1) = \dfrac{1 - \ln 1}{1^2} = 1$.
$(T) : y = 1(x-1) + 0 \iff y = x - 1$
b) La tangente passe par $(1;0)$ et $(0;-1)$. Elle est au-dessus de la courbe au voisinage de 1 (voir convexité).
3) a)
On dérive $f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$. Pose $U = 1-\ln x$ ($U'=-1/x$) et $V=x^2$ ($V'=2x$).
$f''(x) = \dfrac{\frac{-1}{x} \cdot x^2 - (1-\ln x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \dfrac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{x(-3 + 2\ln x)}{x^4}$.
donc $f''(x) = \dfrac{-3 + 2\ln x}{x^3}$
3) b)
$x^3 > 0$. Signe de $-3 + 2\ln x$ :
$-3 + 2\ln x \ge 0 \iff 2\ln x \ge 3 \iff \ln x \ge 1,5 \iff x \ge e^{1,5}$.
$f''$ est négative sur $[0,5 ; e^{1,5}]$ et positive sur $[e^{1,5} ; 10]$.
3) c)
$f''$ s'annule et change de signe en $x_0 = e^{1,5} = e\sqrt{e}$.
$y_0 = f(e^{1,5}) = \dfrac{\ln(e^{1,5})}{e^{1,5}} = \dfrac{1,5}{e^{1,5}} = \dfrac{3}{2e\sqrt{e}}$.
Point d'inflexion $E \left( e^{1,5} ; \dfrac{3}{2}e^{-1,5} \right)$.
3) d)
Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente.