D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Intégration et fonction logarithme
Exercice 1 (6 pts)
1) Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f(x)=x^3-3x^2+2x-1$.
2) Déterminer la primitive $G$ de la fonction $g(x)=\dfrac{1}{x^2}-e^x$ telle que $G(1)=2$.
3) Déterminer une primitive $H$ de la fonction $h(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$.
4) Calculer $\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^{x^2+2x} \, \mathrm{d}x$.
5) Calculer $\displaystyle \int_1^e \dfrac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x$.
1)
$F(x) = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3x^3}{3} + \dfrac{2x^2}{2} - x + k$.
donc $F(x) = \dfrac{x^4}{4} - x^3 + x^2 - x + k$ ($k \in \mathbb{R}$)
2)
$G(x) = -\dfrac{1}{x} - e^x + k$.
Or $G(1)=2 \iff -\dfrac{1}{1} - e^1 + k = 2 \iff -1 - e + k = 2 \iff k = 3 + e$.
donc $G(x) = -\dfrac{1}{x} - e^x + 3 + e$
3)
$h(x)$ est de la forme $\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$.
Une primitive est $-\dfrac{1}{u}$.
donc $H(x) = -\dfrac{1}{x^2+1} + k$ ($k \in \mathbb{R}$)
4)
On reconnaît la forme $\dfrac{1}{2}u'e^u$ avec $u(x)=x^2+2x$ donc $u'(x)=2x+2=2(x+1)$.
Une primitive est $\dfrac{1}{2}e^{x^2+2x}$.
$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^{x^2+2x} \, \mathrm{d}x = \left[ \dfrac{1}{2}e^{x^2+2x} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2}e^{1+2} - \dfrac{1}{2}e^0 = \dfrac{1}{2}e^3 - \dfrac{1}{2}$.
Résultat : $\dfrac{e^3-1}{2}$
5)
On reconnaît la forme $u'u$ avec $u(x)=\ln x$ et $u'(x)=\dfrac{1}{x}$.
Une primitive est $\dfrac{u^2}{2} = \dfrac{(\ln x)^2}{2}$.
$\displaystyle \int_1^e \dfrac{\ln x}{x} \, \mathrm{d}x = \left[ \dfrac{(\ln x)^2}{2} \right]_1^e = \dfrac{(\ln e)^2}{2} - \dfrac{(\ln 1)^2}{2} = \dfrac{1^2}{2} - 0$.
Résultat : $\dfrac{1}{2}$
Exercice 2 (6 pts)
Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant $x$ centaines de jouets fabriqués, est modélisé par la fonction $B$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,1 ; 10]$ par $B(x)=10 \times \dfrac{1+\ln x}{x}$. Si $B(x) \ge 0$, il s'agit d'un bénéfice, sinon il s'agit d'une perte.
1) a) Montrer que la dérivée de $B$ vérifie : $B'(x)=\dfrac{-10 \ln x}{x^2}$.
b) Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire le tableau de variation de $B$.
2) Démontrer qu'une primitive de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0,1 ; 10]$ est la fonction $F$ définie sur $[0,1 ; 10]$ par $F(x)=5(\ln x)(\ln x+2)$.
1) a)
On pose $u(x)=10(1+\ln x)$ et $v(x)=x$.
$u'(x)=\dfrac{10}{x}$ et $v'(x)=1$.
$B'(x) = \dfrac{\dfrac{10}{x} \times x - 10(1+\ln x) \times 1}{x^2} = \dfrac{10 - 10 - 10 \ln x}{x^2}$.
donc $B'(x) = \dfrac{-10 \ln x}{x^2}$
1) b)
Sur $[0,1 ; 10]$, $x^2 > 0$, donc $B'(x)$ est du signe de $-10 \ln x$.
$\ln x > 0 \iff x > 1$. Donc $-10 \ln x < 0$ pour $x > 1$.
2)
Développons $F(x)$ : $F(x) = 5(\ln x)^2 + 10 \ln x$.
Dérivons $F(x)$ : $F'(x) = 5 \times 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x + 10 \times \dfrac{1}{x}$
$F'(x) = \dfrac{10 \ln x}{x} + \dfrac{10}{x} = \dfrac{10(\ln x + 1)}{x}$.
On retrouve bien $B(x)$.
Donc $F$ est bien une primitive de $B$ sur $[0,1 ; 10]$.
Exercice 3 (8 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$.
1) a) Calculer la dérivée de $f$, puis étudier son signe.
b) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
c) Dresser le tableau de variation de $f$.
2) a) Résoudre l’équation $f(x)=0$.
b) Calculer une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.
c) Calculer l’aire $\mathcal{A}$ comprise entre la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses, la droite $x=-1$ et la droite $x=0$.
1) a)
On pose $u(x)=x+1$ ($u'=1$) et $v(x)=e^{-x}$ ($v'=-e^{-x}$).
$f'(x) = 1 \times e^{-x} + (x+1) \times (-e^{-x}) = e^{-x} (1 - x - 1) = -x e^{-x}$.
Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, $f'(x)$ est du signe de $-x$.
$f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; 0[$ et $f'(x) < 0$ sur $]0 ; +\infty[$.
1) b)
En $-\infty$ : $\lim\limits_{x \to -\infty} (x+1) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$.
Par produit, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
En $+\infty$ : $f(x) = \dfrac{x}{e^x} + \dfrac{1}{e^x}$.
Par croissance comparée, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0$. De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} = 0$.
Par somme, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
1) c)
$f(0) = (0+1)e^0 = 1$.
2) a)
$(x+1)e^{-x} = 0$. Comme $e^{-x} \ne 0$, cela équivaut à $x+1=0$.
$S = \{-1\}$
2) b)
On vérifie que $F(x) = (-x-2)e^{-x}$ convient.
$F'(x) = -1e^{-x} + (-x-2)(-e^{-x}) = e^{-x}(-1 + x + 2) = (x+1)e^{-x} = f(x)$.
$F(x) = (-x-2)e^{-x}$
2) c)
Sur $[-1 ; 0]$, $x \ge -1 \iff x+1 \ge 0$, et $e^{-x} > 0$, donc $f(x) \ge 0$.
$\mathcal{A} = \displaystyle \int_{-1}^0 f(x) \, \mathrm{d}x = [F(x)]_{-1}^0 = F(0) - F(-1)$.
$F(0) = (-0-2)e^0 = -2$.
$F(-1) = (-(-1)-2)e^1 = (1-2)e = -e$.
$\mathcal{A} = -2 - (-e) = e - 2$.
$\mathcal{A} = e - 2$ u.a.