D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Primitives et équations différentielles
Exercice 1 (6 pts)
1) Déterminer une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x)=-x^4+x^2+4x-2$.
2) Déterminer la primitive $G$ sur $]0;+\infty[$ de la fonction $g(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ telle que $G(1)=0$.
3) Déterminer une primitive $H$ sur $]0;+\infty[$ de la fonction $h(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-3e^x$.
1)
$F(x) = -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^3}{3} + 4 \times \dfrac{x^2}{2} - 2x + k$.
donc $F(x) = -\dfrac{1}{5}x^5 + \dfrac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + k$ ($k \in \mathbb{R}$)
2)
On sait qu'une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$ et une primitive de $-\dfrac{1}{x^2}$ est $\dfrac{1}{x}$.
Donc $G(x) = \ln x + \dfrac{1}{x} + k$.
Or $G(1)=0 \iff \ln(1) + \dfrac{1}{1} + k = 0 \iff 0 + 1 + k = 0 \iff k = -1$.
donc $G(x) = \ln x + \dfrac{1}{x} - 1$
3)
On reconnaît les primitives usuelles $\sqrt{x}$ pour $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $e^x$ pour $e^x$.
donc $H(x) = \sqrt{x} - 3e^x + k$ ($k \in \mathbb{R}$)
Exercice 2 (6 pts)
Déterminer une primitive des fonctions ci-dessous sur l'intervalle $I$ :
a) $f(x)=e^{2x}$ avec $I=\mathbb{R}$
b) $g(x)=\dfrac{e^{3x}}{e^{3x+1}}$ avec $I=\mathbb{R}$
c) $h(x)=\dfrac{x}{2\sqrt{3x^2+1}}$ avec $I=\mathbb{R}$
a)
$f(x)$ est de la forme $u'e^u$ à un coefficient près avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$.
$f(x) = \dfrac{1}{2} \times (2e^{2x})$.
donc $F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + k$
b)
On simplifie l'expression : $g(x) = e^{3x - (3x+1)} = e^{3x-3x-1} = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$.
C'est une fonction constante.
donc $G(x) = \dfrac{1}{e}x + k$
c)
On pose $u(x)=3x^2+1$, alors $u'(x)=6x$.
On cherche à faire apparaître $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.
$h(x) = \dfrac{x}{2\sqrt{3x^2+1}} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.
donc $H(x) = \dfrac{1}{6}\sqrt{3x^2+1} + k$
Exercice 3 (8 pts)
Résoudre les équations différentielles ci-dessous :
$(E_1) : y' + y = 0$
$(E_2) : y' - 2y = 0$ avec $y(0) = 2$
$(E_3) : y' + 5y = 1$ avec $y(1) = -1$
$(E_4) : 3y' = y - 2$ avec $y(0) = -1$
Pour $(E_1)$ :
$y' = -y$. C'est de la forme $y' = ay$ avec $a=-1$.
Les solutions sont $y(x) = K e^{-x}$ ($K \in \mathbb{R}$).
Pour $(E_2)$ :
$y' = 2y$. Forme $y' = ay$ avec $a=2$. Solutions : $y(x) = K e^{2x}$.
Condition initiale : $y(0) = 2 \iff K e^0 = 2 \iff K = 2$.
L'unique solution est $y(x) = 2 e^{2x}$.
Pour $(E_3)$ :
$y' = -5y + 1$. Forme $y' = ay + b$ avec $a=-5$ et $b=1$.
Solutions : $y(x) = K e^{-5x} - \dfrac{1}{-5} = K e^{-5x} + \dfrac{1}{5}$.
Condition initiale : $y(1) = -1 \iff K e^{-5} + 0,2 = -1 \iff K e^{-5} = -1,2 \iff K = -1,2 e^5$.
L'unique solution est $y(x) = -1,2 e^5 e^{-5x} + 0,2 = -1,2 e^{5-5x} + 0,2$.
(ou $y(x) = -\dfrac{6}{5} e^{5-5x} + \dfrac{1}{5}$)
Pour $(E_4)$ :
$3y' = y - 2 \iff y' = \dfrac{1}{3}y - \dfrac{2}{3}$.
Forme $y' = ay + b$ avec $a=\dfrac{1}{3}$ et $b=-\dfrac{2}{3}$.
Solutions : $y(x) = K e^{\frac{1}{3}x} - \dfrac{-2/3}{1/3} = K e^{\frac{x}{3}} + 2$.
Condition initiale : $y(0) = -1 \iff K + 2 = -1 \iff K = -3$.
L'unique solution est $y(x) = -3 e^{\frac{x}{3}} + 2$.