D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Loi géométrique et logarithme
Exercice 1 (7 pts)
Le jeu des petits chevaux consiste à déplacer des pions représentant des chevaux sur un plateau. Pour déplacer un pion, le joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Pour sortir un cheval de l'écurie, le joueur doit faire un 6. On note $X$ la variable aléatoire associée au nombre de lancers nécessaires pour qu'un joueur réussisse à faire sortir un cheval de l'écurie.
1) Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier.
2) Quelle est la probabilité de faire sortir son cheval au troisième lancer ?
3) Quelle est la probabilité de faire sortir son cheval en au plus 5 lancers ?
4) Sachant qu'un joueur n'a pas réussi à faire sortir son cheval au bout de 2 lancers, quelle est la probabilité qu'il y arrive au sixième lancer ?
5) En moyenne, combien faut-il de lancers pour arriver à faire sortir son cheval de l'écurie ?
1)
On répète de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli (lancer de dé) où le succès est "obtenir un 6" de probabilité $p=\dfrac{1}{6}$.
$X$ est le rang du premier succès.
Donc $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p=\dfrac{1}{6}$.
2)
$P(X=3) = (1-p)^{3-1} \times p = \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{25}{36} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{25}{216}$.
$P(X=3) \approx 0,116$
3)
On cherche $P(X \le 5)$. À la calculatrice (fonction GeometFrep ou somme) :
$P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - (1-p)^5 = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^5$.
$P(X \le 5) \approx 0,598$
4)
La loi géométrique est une loi "sans mémoire".
$P_{X>2}(X=6) = P(X=6-2) = P(X=4)$.
$P(X=4) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{125}{216} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{125}{1296}$.
$P_{X>2}(X=6) \approx 0,096$
5)
$E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{1/6} = 6$.
Il faut en moyenne 6 lancers.
Exercice 2 (6 pts)
Préciser le domaine d’existence puis résoudre les équations suivantes :
1) $e^{3x-4}=1$
2) $\ln(2x-5)=1$
3) $\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln(x+1)$
4) $\ln(x^2)=\ln(x)-1$
1) Domaine : $\mathbb{R}$.
$e^{3x-4}=1 \iff e^{3x-4}=e^0 \iff 3x-4=0 \iff 3x=4 \iff x=\dfrac{4}{3}$.
$S = \left\{ \dfrac{4}{3} \right\}$
2) Existence : $2x-5 > 0 \iff x > \dfrac{5}{2}$. $D = ]2,5 ; +\infty[$.
$\ln(2x-5)=1 \iff 2x-5 = e^1 \iff 2x = e+5 \iff x = \dfrac{e+5}{2}$.
Comme $\dfrac{e+5}{2} \approx 3,86 > 2,5$, c'est une solution valide.
$S = \left\{ \dfrac{e+5}{2} \right\}$
3) Existence : $x+2>0$, $x-1>0$ et $x+1>0$. La contrainte la plus forte est $x>1$. $D = ]1 ; +\infty[$.
$\ln((x+2)(x-1)) = \ln(x+1) \iff (x+2)(x-1) = x+1$
$\iff x^2-x+2x-2 = x+1 \iff x^2+x-2 = x+1 \iff x^2=3$.
Deux solutions possibles : $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$.
Or $-\sqrt{3} \notin D$ et $\sqrt{3} \approx 1,73 \in D$.
$S = \{ \sqrt{3} \}$
4) Existence : $x^2>0$ (soit $x \ne 0$) et $x>0$. Donc $D = ]0 ; +\infty[$.
$\ln(x^2) = \ln(x)-1 \iff 2\ln(x) = \ln(x)-1 \iff \ln(x) = -1$.
$x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$. Cette valeur est bien dans $D$.
$S = \left\{ \dfrac{1}{e} \right\}$
Exercice 3 (7 pts)
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x-2-\ln x$.
1) Donner le domaine de définition de $f$.
2) Calculer la dérivée de la fonction $f$.
3) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition et donner les asymptotes éventuelles.
4) Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
5) a) Montrer que l’équation $f(x)=0$ a une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle $]0;1]$.
b) Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
1)
La fonction $\ln x$ existe si $x>0$.
$D_f = ]0 ; +\infty[$
2)
$f'(x) = 1 - 0 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$.
$f'(x) = \dfrac{x-1}{x}$
3)
En $0^+$ : $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} (-\ln x) = +\infty$.
$\lim\limits_{x \to 0^+} (x-2) = -2$. Par somme, $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
Il y a une asymptote verticale d'équation $x=0$.
En $+\infty$ : Forme indéterminée "$\infty - \infty$".
$f(x) = x \left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{\ln x}{x} \right)$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ (croissance comparée).
Donc la parenthèse tend vers 1. Comme $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$, par produit :
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
4)
Sur $]0;+\infty[$, $x>0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x-1$.
Minimum : $f(1) = 1 - 2 - \ln(1) = -1$.
5)
a) Sur l'intervalle $]0;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.
$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et $f(1) = -1$.
Or $0 \in ]-1 ; +\infty[$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire), l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0;1]$.
b) À la calculatrice :
$f(0,15) \approx 0,04 > 0$
$f(0,16) \approx -0,007 < 0$
$\alpha \approx 0,16$