D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Continuité et TVI
Exercice 1 (4 pts)
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} -2x+1 & \text{si } x < 1 \\ x^2+x-2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
1) Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1;2]$ dans un repère.
2) La fonction $f$ est-elle continue sur l’intervalle $[-1;2]$ ? Pourquoi ?
1) Représentation graphique :
2)
On calcule la limite à gauche et l'image en 1 :
$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -2(1)+1 = -1$.
$f(1) = 1^2+1-2 = 0$.
Comme $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) \ne f(1)$, il y a un "saut" au point d'abscisse 1.
La fonction $f$ n'est pas continue sur $[-1;2]$.
Exercice 2 (16 pts)
Soit $f$ la fonction réelle définie par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+x-2}$. On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
1) Donner le domaine de définition $D_f$ de $f$.
2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition et donner les équations des asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}_f$.
3) a) Montrer que : $f'(x) = \dfrac{x^2-6x-1}{(x^2+x-2)^2}$.
b) Étudier le signe de $f'$, puis dresser son tableau de variation complet.
4) a) Montrer que l'équation $f(x)=2$ a une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle $]-\infty;-2[$.
b) Avec la calculatrice, donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
1)
Valeurs interdites : $x^2+x-2=0$. Racine évidente $1$. Produit des racines $P=-2$, donc $x_2=-2$.
$D_f=]-\infty;-2[ \cup ]-2;1[ \cup ]1;+\infty[$.
2)
En l'infini : $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$.
Donc $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=1$ en $\pm\infty$.
Étude du signe du dénominateur $x^2+x-2$ :
| $x$ | $-\infty$ | -2 | 1 | $+\infty$ | |||
| Signe de $x^2+x-2$ | + |
0
|
- |
0
|
+ |
En -2 :
$\lim\limits_{x \to -2^-} (x^2+x-2) = 0^+$ donc $\lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = \dfrac{5}{0^+} = +\infty$.
$\lim\limits_{x \to -2^+} (x^2+x-2) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x \to -2^+} f(x) = \dfrac{5}{0^-} = -\infty$.
Donc asymptote verticale d'équation $x=-2$.
En 1 :
$\lim\limits_{x \to 1^-} (x^2+x-2) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \dfrac{2}{0^-} = -\infty$.
$\lim\limits_{x \to 1^+} (x^2+x-2) = 0^+$ donc $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \dfrac{2}{0^+} = +\infty$.
Donc asymptote verticale d'équation $x=1$.
3) a)
On pose $u=x^2+1$ ($u'=2x$) et $v=x^2+x-2$ ($v'=2x+1$).
$f'(x)=\dfrac{2x(x^2+x-2)-(x^2+1)(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{2x^3+2x^2-4x-(2x^3+x^2+2x+1)}{(x^2+x-2)^2}$
donc $f'(x) = \dfrac{x^2-6x-1}{(x^2+x-2)^2}$
3) b)
Le signe de $f'(x)$ dépend du numérateur $x^2-6x-1$.
$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(-1) = 40$.
Racines : $x_1 = 3-\sqrt{10} \approx -0,16$ et $x_2 = 3+\sqrt{10} \approx 6,16$.