D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Fonctions limites et variations
Exercice 1 (10 pts)
Calculer les limites suivantes :
1) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{x-1}$
2) $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-3x^2-2x+5}{2x^2-1}$
3) $\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{4x+1}{x^2-3x+2}$
4) $\lim\limits_{x \to 2^-} \dfrac{4x+1}{x^2-3x+2}$
5) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(2x)}{x^2}$
1) $\dfrac{x^2+1}{x-1} = \dfrac{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)} = x \times \dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x}}$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{x}\right)=1$.
D'où $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{x-1} = $ $+\infty$.
2) $\dfrac{-3x^2-2x+5}{2x^2-1} = \dfrac{x^2\left(-3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)} = \dfrac{-3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^2}}{2-\dfrac{1}{x^2}}$.
$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(-3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^2}\right)=-3$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)=2$.
D'où $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-3x^2-2x+5}{2x^2-1} = $ $-\dfrac{3}{2}$.
3) Le trinôme $x^2-3x+2$ a 2 racines $x_1=1$ et $x_2=2$. Comme $a=1>0$, il est négatif entre les racines.
$\lim\limits_{x \to 1^+} (x^2-3x+2)=0^-$ et $\lim\limits_{x \to 1^+} (4x+1)=5$.
Donc $\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{4x+1}{x^2-3x+2} = $ $-\infty$.
4) $\lim\limits_{x \to 2^-} (x^2-3x+2)=0^-$ (car $x$ est entre les racines) et $\lim\limits_{x \to 2^-} (4x+1)=9$.
Donc $\lim\limits_{x \to 2^-} \dfrac{4x+1}{x^2-3x+2} = $ $-\infty$.
5) Pour tout $x>0$, $-1 \le \sin(2x) \le 1$ donc $-\dfrac{1}{x^2} \le \dfrac{\sin(2x)}{x^2} \le \dfrac{1}{x^2}$.
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{x^2}\right)=0$.
Donc, d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(2x)}{x^2} = $ $0$.
Exercice 2 (10 pts)
Soit $f$ la fonction réelle définie par $f(x)=\dfrac{x}{4-2x}$. On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
1) Donner le domaine de définition de $f$.
2) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition, puis en déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
3) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation complet.
1)
$f(x)$ existe si $4-2x \ne 0$ soit $x \ne 2$.
$D_f=]-\infty;2[ \cup ]2;+\infty[$.
2)
En l'infini : $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{x}{-2x} = -\dfrac{1}{2}$.
Donc $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=-\dfrac{1}{2}$ en $\pm\infty$.
En 2 : Signe de $4-2x$ : positif pour $x<2$, négatif pour $x>2$.
$\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \dfrac{2}{0^+} = $ $+\infty$.
$\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \dfrac{2}{0^-} = $ $-\infty$.
Donc $\mathcal{C}$ admet une asymptote verticale d'équation $x=2$.
3)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=4-2x$. Alors $u'(x)=1$ et $v'(x)=-2$.
$f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{1(4-2x)-x(-2)}{(4-2x)^2}=\dfrac{4-2x+2x}{(4-2x)^2}=\dfrac{4}{(4-2x)^2}$.
Pour tout $x \in D_f$, $(4-2x)^2>0$ donc $f'(x)>0$.
$f$ est strictement croissante sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$.