D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Suites arithmético-géométriques
Exercice 1 (10 pts)
Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2024, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région. Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre $8\,\%$ des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.
1. Modélisation
On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite $(C_n)$, le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année $2024 + n$. Ainsi $C_0$ est le nombre de colonies en 2024.
(a) Calculer $C_1$, puis justifier que $C_{n+1} = 0,92 C_n + 50$.
(b) On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $v_n = C_n - 625$.
Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
(c) En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = -325 \times 0,92^n + 625$.
(d) Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2030 ?
2. Objectif
L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, en quelle année il atteindra cet objectif.
1) (a)
Perte de $8\,\%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{8}{100} = 0,92$.
Ajout de 50 colonies correspond à $+50$.
$C_1 = 0,92 \times C_0 + 50 = 0,92 \times 300 + 50 = 276 + 50$.
donc $C_1 = 326$
Pour passer de l'année $n$ à $n+1$, on applique la diminution de $8\,\%$ puis l'augmentation de 50 :
donc $C_{n+1} = 0,92 C_n + 50$
1) (b)
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$v_{n+1} = C_{n+1} - 625 = 0,92 C_n + 50 - 625 = 0,92 C_n - 575$.
On factorise par $0,92$ :
$v_{n+1} = 0,92 \left( C_n - \dfrac{575}{0,92} \right) = 0,92 (C_n - 625) = 0,92 v_n$.
$(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,92$.
Premier terme : $v_0 = C_0 - 625 = 300 - 625 = -325$.
donc $v_0 = -325$
1) (c)
On a $v_n = v_0 \times q^n = -325 \times 0,92^n$.
Comme $v_n = C_n - 625$, on a $C_n = v_n + 625$.
donc $C_n = -325 \times 0,92^n + 625$
1) (d)
Juillet 2030 correspond au rang $n = 2030 - 2024 = 6$.
$C_6 = -325 \times 0,92^6 + 625 \approx 427,88$.
Il peut espérer environ 428 colonies.
2)
On cherche $n$ tel que $C_n \ge 2 \times C_0$, soit $C_n \ge 600$.
À la calculatrice :
$C_{30} \approx 598,4$
$C_{31} \approx 600,5$
C'est au rang $n=31$ que l'objectif est atteint.
$2024 + 31 = 2055$.
L'objectif sera atteint en 2055.
Exercice 2 (10 pts)
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-2u_n-\dfrac{2}{3}$.
Déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On cherche la limite éventuelle $\ell$ vérifiant $\ell = -2\ell - \dfrac{2}{3}$.
$3\ell = -\dfrac{2}{3} \iff \ell = -\dfrac{2}{9}$.
On pose la suite auxiliaire $v_n = u_n - \ell = u_n + \dfrac{2}{9}$.
$v_{n+1} = u_{n+1} + \dfrac{2}{9} = -2u_n - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} = -2u_n - \dfrac{6}{9} + \dfrac{2}{9} = -2u_n - \dfrac{4}{9}$.
On factorise par -2 : $v_{n+1} = -2 \left( u_n + \dfrac{2}{9} \right) = -2 v_n$.
$(v_n)$ est géométrique de raison $q = -2$.
Premier terme : $v_0 = u_0 + \dfrac{2}{9} = -2 + \dfrac{2}{9} = -\dfrac{18}{9} + \dfrac{2}{9} = -\dfrac{16}{9}$.
Expression de $v_n$ : $v_n = v_0 \times q^n = -\dfrac{16}{9} \times (-2)^n$.
On en déduit $u_n$ : $u_n = v_n - \dfrac{2}{9}$.
donc $u_n = -\dfrac{16}{9} \times (-2)^n - \dfrac{2}{9}$