D.S de MATHÉMATIQUES
Terminale Maths Complémentaires - Suites et limites
Durée : 0h 45min
Calculatrice autorisée
Exercice 1 (8 pts)
Déterminer la limite des suites ci-dessous en utilisant les propriétés du cours :
1) $u_n = -2n^2 + \dfrac{1}{n}$
2) $v_n = \dfrac{5n^2+n+1}{4n^2-1}$
3) $w_n = n^3-n+1$
4) $t_n = \dfrac{2 \times (-1)^n}{n^2}$
1)
$\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-2n^2\right) = -\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
2)
$\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5n^2+n+1\right) = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(4n^2-1\right) = +\infty$ donc F.I.On factorise par les termes de plus haut degré :
$v_n = \dfrac{n^2 \left(5+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2 \left(4-\dfrac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{5+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{4-\dfrac{1}{n^2}}$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)=5$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(4-\dfrac{1}{n^2}\right)=4$.
donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{5}{4}$
3)
$\lim\limits_{n \to +\infty} n^3=+\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} (-n)=-\infty$ donc F.I.$w_n = n^3 \left(1-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)$.
$\lim\limits_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}\right)=1$.
donc $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n = +\infty$
4)
On utilise le théorème des gendarmes :$-1 \le (-1)^n \le 1 \iff -1 \times \dfrac{2}{n^2} \le \dfrac{2(-1)^n}{n^2} \le 1 \times \dfrac{2}{n^2}$
$\iff -\dfrac{2}{n^2} \le t_n \le \dfrac{2}{n^2}$.
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{2}{n^2}\right) = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{n^2}\right) = 0$.
donc $\lim\limits_{n \to +\infty} t_n = 0$
Exercice 2 (7 pts)
On considère une suite géométrique $(u_n)$ telle que $u_3=5$ et $u_5=\dfrac{1}{5}$.
1) Déterminer la raison positive $q$ de $(u_n)$ puis le premier terme $u_0$.
2) En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
3) À l’aide de la calculatrice, déterminer la limite de $(u_n)$.
1)
On sait que pour tout $n, p \in \mathbb{N}$, $u_n = u_p \times q^{n-p}$.Donc $u_5=u_3 \times q^{5-3} \iff \dfrac{1}{5}=5 \times q^2 \iff q^2 = \dfrac{1}{25}$.
Comme la raison est positive : $q=\dfrac{1}{5}$.
Calcul de $u_0$ : $u_3 = u_0 \times q^{3-0} \iff 5 = u_0 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^3$.
$u_0 = 5 \times 5^3 = 5^4$. donc $u_0 = 625$
2)
$u_n=u_0 \times q^n$.donc $u_n = 625 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$
3)
Comme $-1 < \dfrac{1}{5} < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n = 0$.donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$
Exercice 3 (5 pts)
On considère la suite $(u_n)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-3$ et $u_0=-1$.
1) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2) Calculer $u_{50}$.
3) Calculer la limite de $(u_n)$.
1)
La relation $u_{n+1}=u_n-3$ montre que $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-3$ et de premier terme $u_0=-1$.La forme explicite est $u_n=u_0+nr$.
donc $u_n = -1-3n$
2)
$u_{50} = -1-3 \times 50 = -1 - 150$.donc $u_{50} = -151$
3)
$\lim\limits_{n \to +\infty} (-3n) = -\infty$.donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$