Losanges et Propriétés

Exercice 1 : Définition et Vocabulaire

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses pour un losange :

a) Un losange est un parallélogramme particulier.
b) Il possède quatre côtés de même longueur.
c) Ses diagonales sont toujours de même longueur.
d) Ses diagonales sont perpendiculaires.
e) Les côtés opposés sont parallèles.

Exercice 2 : Propriétés des diagonales

Soit $ABCD$ un losange de centre $O$.

a) Si $AC = 12$ cm, que vaut la longueur $OA$ ?
b) Si $OB = 5$ cm, que vaut la longueur de la diagonale $[BD]$ ?
c) Quel est l'angle formé par les droites $(AC)$ et $(BD)$ ?
d) Le point $O$ est-il le milieu des deux diagonales ?
e) Les diagonales sont-elles des axes de symétrie du losange ?

Exercice 3 : Côtés et Périmètre

Calculer les valeurs manquantes pour un losange $EFGH$ :

a) Si le côté $EF = 6,5$ cm, quel est son périmètre ?
b) Si le périmètre est de $32$ cm, quelle est la longueur d'un côté ?
c) Si $EF = 8$ cm, que vaut la longueur $GH$ ?
d) Si $EF = FG = GH = HE$, est-ce forcément un carré ?
e) Un losange a-t-il tous ses angles égaux ?

Exercice 4 : Reconnaître des losanges

Parmi les figures suivantes, lesquelles sont des losanges ? Justifier.

Figure 1

Figure 2

Figure 3

a) Fig 1 : Quadrilatère ayant 4 côtés de même longueur.
b) Fig 2 : Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
c) Fig 3 : Parallélogramme dont les côtés consécutifs ne sont pas égaux.

Exercice 5 : Angles et Diagonales

Soit $ABCD$ un losange.

a) Si $\widehat{BAD} = 60^\circ$, que vaut l'angle opposé $\widehat{BCD}$ ?
b) Si $\widehat{BAD} = 60^\circ$, que vaut l'angle consécutif $\widehat{ABC}$ ?
c) Quel est le rôle de la diagonale $[AC]$ pour l'angle $\widehat{A}$ ?
d) Si un losange possède un angle droit, quel est son nom particulier ?
e) Quelle est la somme des quatre angles d'un losange ?

Exercice 6 : Démontrer avec les propriétés (Détails)

a) Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est-il toujours un losange ?
b) Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est-il un losange ?
c) Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$. On construit $D$ le symétrique de $A$ par rapport au milieu de $[BC]$. Nature de $ABDC$ ?
d) Calculer le périmètre d'un losange dont le côté vaut le quart de $24$ cm.
e) Les axes de symétrie d'un losange sont-ils parallèles ?