Géométrie : Les Angles du Triangle

1. Alignement des points D, E et F

Pour savoir si D, E et F sont alignés, nous devons calculer l'angle $\widehat{DEF}$. Si $\widehat{DEF} = 180^\circ$, ils sont alignés. L'angle $\widehat{DEF}$ est composé des angles $\widehat{DEA}$ et $\widehat{AEF}$. Calculons d'abord $\widehat{DEA} = \widehat{DEC} + \widehat{CEB} + \widehat{BEA}$.

• $\Delta CDE$ : Il est isocèle en D ($CD=DE$) et rectangle en D ($\widehat{CDE} = 90^\circ$). Ses angles à la base sont égaux : $\widehat{DEC} = \widehat{DCE} = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
  Donc, $\widehat{DEC} = 45^\circ$.
• $\Delta BCE$ : On connaît $\widehat{EBC} = 68^\circ$ et $\widehat{ECB} = 87^\circ$. $\widehat{BEC} = 180^\circ - (68^\circ + 87^\circ) = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.
  Donc, $\widehat{BEC} = 25^\circ$.
• $\Delta ABE$ : Le codage $AE = BE$ signifie qu'il est isocèle en E. On connaît l'angle à la base $\widehat{ABE} = 64^\circ$. L'autre angle à la base est donc $\widehat{EAB} = 64^\circ$. L'angle au sommet est $\widehat{AEB} = 180^\circ - (64^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.
  Donc, $\widehat{AEB} = 52^\circ$.

Calculons $\widehat{DEA}$ :
$\widehat{DEA} = \widehat{DEC} + \widehat{CEB} + \widehat{BEA} = 45^\circ + 25^\circ + 52^\circ = 122^\circ$.

Maintenant, calculons l'angle total $\widehat{DEF}$ :
$\widehat{DEF} = \widehat{DEA} + \widehat{AEF}$
On utilise la valeur donnée $\widehat{AEF} = 58^\circ$.
$\widehat{DEF} = 122^\circ + 58^\circ = 180^\circ$.

Conclusion 1 : Puisque $\widehat{DEF} = 180^\circ$, les points D, E et F sont alignés.

2. Parallélisme des droites (CD) et (AF)

Puisque D, E et F sont alignés, on peut utiliser la droite (DF) comme sécante.

Cherchons si les angles alternes-internes $\widehat{CDF}$ et $\widehat{AFD}$ sont égaux.

• Angle $\widehat{CDF}$ : Cet angle est le même que l'angle $\widehat{CDE}$. D'après les données, $\widehat{CDE} = 90^\circ$. Donc $\widehat{CDF} = 90^\circ$.
• Angle $\widehat{AFD}$ : Puisque D, E, F sont alignés, cet angle est le même que $\widehat{AFE}$. On se place dans le triangle AEF. On connaît $\widehat{EAF} = 32^\circ$ et $\widehat{AEF} = 58^\circ$. $\widehat{AFE} = 180^\circ - (\widehat{EAF} + \widehat{AEF}) = 180^\circ - (32^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
  Donc $\widehat{AFD} = 90^\circ$.

Conclusion 2 : Les angles alternes-internes $\widehat{CDF}$ et $\widehat{AFD}$ sont tous les deux égaux à $90^\circ$.
Puisqu'ils sont égaux, les droites (CD) et (AF) sont parallèles.

1. Calcul de tous les angles

• $\Delta EHL$ (Triangle rectangle) :
  $\widehat{EHL} = 90^\circ$, $\widehat{HEL} = 40^\circ$.
  $\widehat{ELH} = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
• $\Delta LFG$ :
  $\widehat{LGF} = 80^\circ$, $\widehat{FLG} = 30^\circ$.
  $\widehat{LFG} = 180^\circ - 80^\circ - 30^\circ = 70^\circ$.
• $\Delta HLG$ (Isocèle en L, car $HL = LG$) :
  Les angles à la base sont $\widehat{LHG}$ et $\widehat{LGH}$.
  $\widehat{LGH} = \widehat{LGF} = 80^\circ$.
  Donc, $\widehat{LHG} = 80^\circ$.
  Angle au sommet : $\widehat{HLG} = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.
• $\Delta HFL$ (Isocèle en F, car $FH = FL$) :
  Les angles à la base sont $\widehat{FHL}$ et $\widehat{FLH}$.
  L'angle $\widehat{FLH}$ est composé de $\widehat{FLG}$ et $\widehat{GLH}$ (ou $\widehat{HLG}$).
  $\widehat{FLH} = \widehat{FLG} + \widehat{HLG} = 30^\circ + 20^\circ = 50^\circ$.
  Donc, $\widehat{FHL} = \widehat{FLH} = 50^\circ$.
  Angle au sommet : $\widehat{HFL} = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Résumé des angles :
$\widehat{ELH} = 50^\circ$, $\widehat{LFG} = 70^\circ$, $\widehat{HLG} = 20^\circ$, $\widehat{LHG} = 80^\circ$, $\widehat{FLH} = 50^\circ$, $\widehat{FHL} = 50^\circ$, $\widehat{HFL} = 80^\circ$.

2. Alignement des points E, F et G

Pour savoir si E, F et G sont alignés, on doit vérifier si l'angle $\widehat{EFG} = 180^\circ$.

Commençons par vérifier si E, F et L sont alignés.
On a calculé $\widehat{ELH} = 50^\circ$.
On a calculé $\widehat{FLH} = 50^\circ$.
Puisque les angles $\widehat{ELH}$ et $\widehat{FLH}$ sont égaux et partagent la demi-droite [LH), cela signifie que les points E, F et L sont sur la même droite (ils sont alignés).

Puisque E, F et L sont alignés, l'angle $\widehat{EFG}$ est le même que l'angle $\widehat{LFG}$.

D'après nos calculs dans le triangle LFG, $\widehat{LFG} = 70^\circ$.

Conclusion : $\widehat{EFG} = 70^\circ$.
Puisque $70^\circ \neq 180^\circ$, les points E, F et G ne sont pas alignés.

1. Calcul de $\widehat{BCA}$

On se place dans le triangle ABC. La somme des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$.
$\widehat{BCA} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC}$
$\widehat{BCA} = 180^\circ - 44^\circ - 72^\circ$
$\widehat{BCA} = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
$\widehat{BCA} = 64^\circ$.

2. Calcul de $\widehat{BDC}$

La droite (BD) est la bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$. Cela signifie qu'elle coupe l'angle $\widehat{ABC}$ en deux angles égaux : $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$.
$\widehat{DBC} = \widehat{ABC} / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Maintenant, on se place dans le nouveau triangle BDC.
Nous connaissons deux angles dans ce triangle :

• $\widehat{BCD}$ (qui est le même que $\widehat{BCA}$) = $64^\circ$.
• $\widehat{DBC}$ = $36^\circ$.

On utilise à nouveau la somme des angles dans le triangle BDC :
$\widehat{BDC} = 180^\circ - \widehat{BCD} - \widehat{DBC}$
$\widehat{BDC} = 180^\circ - 64^\circ - 36^\circ$
$\widehat{BDC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
$\widehat{BDC} = 80^\circ$.