Cosinus dans le triangle rectangle
Exercice 1 : Vocabulaire du Cosinus
Soit le triangle $ABC$ rectangle en $A$ ci-dessus.
- a) Quel est l'hypoténuse du triangle $ABC$ ?
- b) Pour l'angle $\hat{B}$, quel est le côté adjacent ?
- c) Pour l'angle $\hat{C}$, quel est le côté adjacent ?
- d) Écrire la formule du $\cos(\hat{B})$ en utilisant les côtés.
- e) Écrire la formule du $\cos(\hat{C})$ en utilisant les côtés.
Corrigé
a) L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit $\hat{A}$, c'est donc le segment $[BC]$.
b) Le côté adjacent à l'angle $\hat{B}$ est le côté qui forme l'angle avec l'hypoténuse, c'est donc $[AB]$.
c) Le côté adjacent à l'angle $\hat{C}$ est $[AC]$.
d) $\cos(\hat{B}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \color{#D93025}{\dfrac{AB}{BC}}$.
e) $\cos(\hat{C}) = \dfrac{AC}{BC} \text{ donc } \color{#D93025}{\dfrac{AC}{BC}}$.
Exercice 2 : Calculer un côté adjacent
Soit le triangle $DEF$ rectangle en $D$, tel que $EF = 8 \text{ cm}$ et $\hat{E} = 60^\circ$.
Question : Calculer la longueur du côté $[DE]$.
Corrigé
Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$ :
$\cos(\hat{E}) = \dfrac{DE}{EF}$
$\cos(60^\circ) = \dfrac{DE}{8}$
$DE = 8 \times \cos(60^\circ) = 8 \times 0,5 = \color{#D93025}{4}$.
La longueur $DE$ est de $4 \text{ cm}$.
Exercice 3 : Calculer l'hypoténuse
Soit le triangle $GHI$ rectangle en $G$, tel que $GH = 5 \text{ cm}$ et $\hat{H} = 40^\circ$.
Question : Calculer la longueur de l'hypoténuse $[HI]$. Arrondir au millimètre.
Corrigé
Dans le triangle $GHI$ rectangle en $G$ :
$\cos(\hat{H}) = \dfrac{GH}{HI}$
$\cos(40^\circ) = \dfrac{5}{HI}$
$HI = \dfrac{5}{\cos(40^\circ)} \approx \dfrac{5}{0,766} \approx \color{#D93025}{6,527}$.
L'hypoténuse $[HI]$ mesure environ $6,5 \text{ cm}$.
Exercice 4 : Calculer un angle
Soit le triangle $JKL$ rectangle en $J$, tel que $JK = 7 \text{ cm}$ et $KL = 10 \text{ cm}$.
Question : Calculer la mesure de l'angle $\hat{K}$. Arrondir au degré près.
Corrigé
Dans le triangle $JKL$ rectangle en $J$ :
$\cos(\hat{K}) = \dfrac{JK}{KL} = \dfrac{7}{10} = 0,7$
$\hat{K} = \arccos(0,7) \approx \color{#D93025}{45,57^\circ}$.
L'angle $\hat{K}$ mesure environ $46^\circ$.
Exercice 5 : Problème (L'échelle)
Une échelle de $5$ mètres de long est posée contre un mur. Elle forme un angle de $65^\circ$ avec le sol.
Question : À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ? Arrondir au centimètre.
Corrigé
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle.
L'hypoténuse est la longueur de l'échelle ($5 \text{ m}$). La distance au mur est le côté adjacent à l'angle de $65^\circ$.
$\cos(65^\circ) = \dfrac{\text{distance}}{5}$
$\text{distance} = 5 \times \cos(65^\circ) \approx 5 \times 0,4226 \approx \color{#D93025}{2,113}$.
Le pied de l'échelle est à environ $2,11 \text{ m}$ du mur.