Agrandissement et Réduction
Exercice 1 : Calcul de longueur (Thalès)
Dans la figure ci-dessous, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne : $AM = 5 \text{ cm}$, $AB = 8 \text{ cm}$ et $AC = 10 \text{ cm}$.
Question : Calculer la longueur $AN$.
Corrigé
Dans le triangle $ABC$, on sait que $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$.
D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports :
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
En utilisant $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, on obtient : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{AN}{10}$.
On effectue le produit en croix : $8 \times AN = 5 \times 10$
$8 \times AN = 50 \implies AN = \dfrac{50}{8} = \color{#D93025}{6,25}$.
La longueur $AN$ est donc de 6,25 cm.
Exercice 2 : Calcul de longueur MN
On utilise la même configuration qu'à l'exercice 1. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne : $AM = 3 \text{ cm}$, $AB = 7 \text{ cm}$ et $BC = 14 \text{ cm}$.
Question : Calculer la longueur $MN$.
Corrigé
D'après le théorème de Thalès cité précédemment :
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$
On remplace par les valeurs connues : $\dfrac{3}{7} = \dfrac{MN}{14}$.
On effectue le produit en croix : $7 \times MN = 3 \times 14$
$7 \times MN = 42 \implies MN = \dfrac{42}{7} = \color{#D93025}{6}$.
La longueur $MN$ est donc de 6 cm.
Exercice 3 : Agrandissement d'aire
Un rectangle a une aire de $20 \text{ cm}^2$. On agrandit ce rectangle en multipliant ses longueurs par un coefficient $k = 3$.
Question : Quelle est la nouvelle aire $S'$ du rectangle agrandi ?
Corrigé
Lors d'un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires sont multipliées par $k^2$.
Ici, $k = 3$, donc les aires sont multipliées par $k^2 = 3^2 = 9$.
$S' = S \times k^2 = 20 \times 9 = \color{#D93025}{180}$.
La nouvelle aire est donc de 180 cm².
Exercice 4 : Réduction d'aire
Un triangle a une aire de $50 \text{ m}^2$. On réduit ses dimensions par un rapport $k = \dfrac{1}{5}$.
Question : Quelle est l'aire $S'$ du triangle réduit ?
Corrigé
Lors d'une réduction de coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.
Ici, $k = \dfrac{1}{5}$, donc $k^2 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{1}{25}$.
$S' = S \times k^2 = 50 \times \dfrac{1}{25} = \dfrac{50}{25} = \color{#D93025}{2}$.
La nouvelle aire est donc de 2 m².
Exercice 5 : Trouver le coefficient k
On agrandit une photographie carrée. L'aire initiale est $S = 100 \text{ cm}^2$ et l'aire finale est $S' = 400 \text{ cm}^2$.
Question : Quel est le coefficient d'agrandissement $k$ appliqué aux longueurs ?
Corrigé
Soit $k$ le coefficient d'agrandissement des longueurs. On sait que $S' = S \times k^2$.
$400 = 100 \times k^2 \implies k^2 = \dfrac{400}{100} = 4$.
Puisque $k$ est un coefficient d'agrandissement (longueur), il est positif. On calcule donc la racine carrée : $k = \sqrt{4} = \color{#D93025}{2}$.
Le coefficient d'agrandissement des longueurs est donc k = 2.