Aires et Volumes des solides
Exercice 1 : Le Parallélépipède Rectangle
Un aquarium a la forme d'un parallélépipède rectangle de dimensions : longueur $L = 60 \text{ cm}$, largeur $l = 30 \text{ cm}$ et hauteur $h = 40 \text{ cm}$.
a) Calculer le volume de cet aquarium en $\text{cm}^3$.
b) Convertir ce volume en litres ($\text{L}$), sachant que $1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3$.
c) Calculer l'aire totale de la surface vitrée (le dessus est ouvert) en $\text{cm}^2$.
Corrigé
a) $V = L \times l \times h = 60 \times 30 \times 40 = \color{#D93025}{72\,000 \text{ cm}^3}$.
b) $V = \dfrac{72\,000}{1000} = \color{#D93025}{72 \text{ L}}$.
c) Surface vitrée = Fond + 2 Face1 + 2 Face2
$\text{Aire} = (60 \times 30) + 2 \times (60 \times 40) + 2 \times (30 \times 40)$
$\text{Aire} = 1800 + 4800 + 2400 = \color{#D93025}{9000 \text{ cm}^2}$.
Exercice 2 : Le Cylindre de révolution
Une boîte de conserve a la forme d'un cylindre de rayon de base $R = 4 \text{ cm}$ et de hauteur $h = 10 \text{ cm}$.
a) Calculer le volume de cette boîte (valeur exacte, puis arrondi au dixième).
b) Calculer l'aire latérale (l'étiquette) de la boîte (valeur exacte, puis arrondi au dixième).
Corrigé
a) $V = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 4^2 \times 10 = \color{#D93025}{160\pi \text{ cm}^3}$.
Valeur arrondie : $160 \times \pi \approx \color{#D93025}{502,7 \text{ cm}^3}$.
b) $A = 2 \times \pi \times R \times h = 2 \times \pi \times 4 \times 10 = \color{#D93025}{80\pi \text{ cm}^2}$.
Valeur arrondie : $80 \times \pi \approx \color{#D93025}{251,3 \text{ cm}^2}$.
Exercice 3 : Le Prisme Droit
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6 \text{ cm}$ et $8 \text{ cm}$. La hauteur du prisme est $12 \text{ cm}$.
a) Calculer l'aire de la base du prisme.
b) Calculer le volume de ce prisme.
Corrigé
a) $\text{Aire}_{base} = \dfrac{6 \times 8}{2} = \color{#D93025}{24 \text{ cm}^2}$.
b) $V = \text{Aire}_{base} \times h = 24 \times 12 = \color{#D93025}{288 \text{ cm}^3}$.
Exercice 4 : La Pyramide
Une pyramide a pour base un carré de côté $5 \text{ cm}$ et une hauteur de $9 \text{ cm}$.
Calculer le volume de cette pyramide en $\text{cm}^3$.
Corrigé
$\text{Aire}_{base} = 5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2$.
$V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}_{base} \times h = \dfrac{1}{3} \times 25 \times 9$
$V = 25 \times 3 = \color{#D93025}{75 \text{ cm}^3}$.
Exercice 5 : Le Cône de révolution
Un cône de révolution a un rayon de base $R = 3 \text{ cm}$ et une hauteur $h = 10 \text{ cm}$.
Calculer le volume de ce cône (valeur exacte, puis arrondi au dixième).
Corrigé
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10$
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 10 = \color{#D93025}{30\pi \text{ cm}^3}$.
Valeur arrondie : $30 \times \pi \approx \color{#D93025}{94,2 \text{ cm}^3}$.