Exercices : Médianes et Centre de Gravité

Hypothèses :

• Dans le triangle DEF :
• (EJ) est la médiane issue de E.
• G est le centre de gravité.
• $EJ = 15$ cm.

Propriété :

Le centre de gravité G est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de la médiane en partant du sommet (E), et donc à $\dfrac{1}{3}$ de la médiane en partant du milieu (J).

On peut écrire : $EG = \dfrac{2}{3} EJ$ et $GJ = \dfrac{1}{3} EJ$.

Calcul :

On utilise la deuxième relation :

$GJ = \dfrac{1}{3} \times 15$

$GJ = \dfrac{15}{3} = 5$ cm.

(Autre méthode : $EG = \dfrac{2}{3} \times 15 = 10$ cm. $GJ = EJ - EG = 15 - 10 = 5$ cm.)

La longueur $GJ$ est de 5 cm.

Hypothèses :

• Dans le triangle RST :
• (SK) est la médiane issue de S.
• G est le centre de gravité.
• $SG = 8$ cm.

Propriété :

On sait que $SG = \dfrac{2}{3} SK$ et $GK = \dfrac{1}{3} SK$.

De ces deux relations, on peut déduire que $SG = 2 \times GK$.

Calculs :

1. On utilise la relation $SG = 2 \times GK$ :

$8 = 2 \times GK$

$GK = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.

La longueur $GK$ est de 4 cm.

2. La longueur totale de la médiane $SK$ est la somme de $SG$ et $GK$ :

$SK = SG + GK$

$SK = 8 + 4 = 12$ cm.

La longueur de la médiane $SK$ est de 12 cm.

1. Identification :

L'intersection de deux médianes d'un triangle est le centre de gravité de ce triangle.

Le point O est le centre de gravité du triangle MNP.

2. Propriété :

D'après la Propriété 4 du cours, les *trois* médianes d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un seul et même point).

Oui, la troisième médiane, issue de P, passe obligatoirement par le point O.

3. Calcul :

O est le centre de gravité et (NJ) est la médiane issue de N. On sait que le centre de gravité est à $\dfrac{1}{3}$ du milieu (J) et $\dfrac{2}{3}$ du sommet (N).

On cherche $OJ$, la distance du centre de gravité au milieu.

$OJ = \dfrac{1}{3} NJ$

$OJ = \dfrac{1}{3} \times 21 = 7$ cm.

La longueur $OJ$ est de 7 cm. (Et $NO$ mesurerait $14$ cm).

a) Vrai. Le centre de gravité G est aux $\dfrac{2}{3}$ du sommet A ($AG = \dfrac{2}{3} AI$) et à $\dfrac{1}{3}$ du milieu I ($GI = \dfrac{1}{3} AI$). Le segment $AG$ est donc bien le double du segment $GI$.

b) Vrai. On part de la propriété $AG = \dfrac{2}{3} AI$. En isolant $AI$, on multiplie par 3 et on divise par 2 : $AI = \dfrac{3}{2} AG$.

c) Faux. On a vu en a) que $AG = 2 \times GI$. L'affirmation correcte serait $GI = \dfrac{1}{2} AG$.

d) Vrai. Si $GI = 5$ cm (la partie du milieu au centre), et qu'on sait $GI = \dfrac{1}{3} AI$, alors la médiane totale $AI$ vaut 3 fois $GI$. $AI = 3 \times 5 = 15$ cm.