Médianes et Centre de Gravité
Exercice 1 : Calculer une longueur
Soit un triangle $ABC$. La droite $(AI)$ est la médiane issue de $A$, avec $I$ milieu de $[BC]$. $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
On sait que la longueur $AI = 9 \text{ cm}$.
Calculer la longueur $AG$.
Corrigé
Dans le triangle $ABC$, $G$ est le centre de gravité et $(AI)$ est la médiane issue du sommet $A$.
On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de chaque médiane en partant du sommet.
On a donc : $AG = \dfrac{2}{3} \times AI$
$AG = \dfrac{2}{3} \times 9 = \dfrac{18}{3} = \color{#D93025}{6}$.
La longueur $AG$ mesure donc $6 \text{ cm}$.
Exercice 2 : Calculer GI
Soit un triangle $DEF$. $(EJ)$ est la médiane issue de $E$, avec $J$ milieu de $[DF]$. $G$ est le centre de gravité du triangle.
On sait que la longueur $EJ = 15 \text{ cm}$.
Calculer la longueur $GJ$.
Corrigé
Dans le triangle $DEF$, $G$ est le centre de gravité et $J$ est le milieu du côté $[DF]$.
Puisque le centre de gravité est aux $\dfrac{2}{3}$ de la médiane en partant du sommet, il est donc situé à $\dfrac{1}{3}$ de la médiane en partant du milieu du côté opposé.
On a donc : $GJ = \dfrac{1}{3} \times EJ$
$GJ = \dfrac{1}{3} \times 15 = \dfrac{15}{3} = \color{#D93025}{5}$.
La longueur $GJ$ mesure donc $5 \text{ cm}$.
Exercice 3 : Calcul inverse
Soit un triangle $RST$. $(SK)$ est la médiane issue de $S$, avec $K$ milieu de $[RT]$. $G$ est le centre de gravité du triangle.
On sait que la longueur $SG = 8 \text{ cm}$.
Calculer la longueur totale de la médiane $SK$.
Corrigé
On sait que $SG = \dfrac{2}{3} \times SK$.
On en déduit donc que : $SK = SG \times \dfrac{3}{2}$
$SK = 8 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{24}{2} = \color{#D93025}{12}$.
La longueur de la médiane $SK$ est donc de $12 \text{ cm}$.
Exercice 4 : Identification
Soit un triangle $MNP$. $(MI)$ est la médiane issue de $M$ et $(NJ)$ est la médiane issue de $N$. Ces deux médianes se coupent en un point $O$.
1. Comment s'appelle le point $O$ pour le triangle $MNP$ ?
2. La troisième médiane, issue de $P$, passe-t-elle par $O$ ?
Corrigé
1. Le point $O$ est l'intersection de deux médianes du triangle. C'est donc le centre de gravité du triangle $MNP$.
2. Oui. Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point unique qui est le centre de gravité. On en déduit donc que la médiane issue de $P$ passe obligatoirement par le point $O$.
Exercice 5 : Vrai ou Faux
Soit $ABC$ un triangle, $G$ son centre de gravité, et $(AI)$ la médiane issue de $A$. Répondre par Vrai ou Faux :
- a) $AG = 2 \times GI$
- b) $AI = \dfrac{3}{2} \times AG$
- c) $GI = \dfrac{1}{3} \times AG$
Corrigé
a) Vrai. Puisque $AG = \dfrac{2}{3} AI$ et $GI = \dfrac{1}{3} AI$, on a bien $AG = 2 \times GI$.
b) Vrai. Si $AG = \dfrac{2}{3} AI$, alors $AI = AG \div \dfrac{2}{3} = AG \times \dfrac{3}{2}$.
c) Faux. D'après la question a, on a $GI = \dfrac{1}{2} \times AG$.