Droites des milieux dans un triangle
Exercice 1 : Parallélisme (Propriété 1)
Soit un triangle $ABC$. $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et $J$ est le milieu du segment $[AC]$.
Démontrer que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Corrigé
Dans le triangle $ABC$ :
- $I$ est le milieu du côté $[AB]$.
- $J$ est le milieu du côté $[AC]$.
Or, si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.
On en déduit donc que la droite $(IJ)$ est parallèle à la droite $(BC)$.
Exercice 2 : Calcul de longueur (Propriété 2)
Soit un triangle $DEF$. $M$ est le milieu du segment $[DE]$ et $N$ est le milieu du segment $[DF]$. On sait que la longueur $EF = 12 \text{ cm}$.
Calculer la longueur du segment $[MN]$.
Corrigé
Dans le triangle $DEF$ :
- $M$ est le milieu du côté $[DE]$.
- $N$ est le milieu du côté $[DF]$.
Or, si un segment joint les milieux de deux côtés d'un triangle, alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.
On a donc : $MN = \dfrac{EF}{2} = \dfrac{12}{2} = \color{#D93025}{6}$.
La longueur du segment $[MN]$ est donc de $6 \text{ cm}$.
Exercice 3 : Trouver un milieu (Propriété 3)
Soit un triangle $RST$. $K$ est le milieu du segment $[RS]$. La droite $(\Delta)$, parallèle à $(ST)$, passe par $K$ et coupe $[RT]$ en un point $L$.
Démontrer que le point $L$ est le milieu du segment $[RT]$.
Corrigé
Dans le triangle $RST$ :
- $K$ est le milieu du côté $[RS]$.
- La droite $(\Delta)$ passe par $K$ et est parallèle au côté $[ST]$.
- $L$ est l'intersection de $(\Delta)$ et de $[RT]$.
Or, si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
On en déduit donc que le point $L$ est le milieu du segment $[RT]$.
Exercice 4 : Théorème de Varignon
Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque. $I, J, K$ et $L$ sont les milieux respectifs des segments $[AB], [BC], [CD]$ et $[DA]$.
1. Démontrer que la droite $(IJ)$ est parallèle à la droite $(AC)$.
2. Démontrer que le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.
Corrigé
1. Dans le triangle $ABC$ : $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[BC]$. D'après la propriété des milieux, $(IJ) \parallel (AC)$ et $IJ = \dfrac{AC}{2}$.
2. De même, dans le triangle $ADC$ : $L$ est le milieu de $[AD]$ et $K$ celui de $[CD]$. On en déduit donc que $(LK) \parallel (AC)$ et $LK = \dfrac{AC}{2}$.
Puisque $(IJ) \parallel (AC)$ et $(LK) \parallel (AC)$, alors $(IJ) \parallel (LK)$. De plus, $IJ = LK = \dfrac{AC}{2}$.
Le quadrilatère $IJKL$ a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est donc un parallélogramme.
Exercice 5 : Vrai ou Faux
Répondre par Vrai ou Faux :
- a) Si un segment joint les milieux de deux côtés, il est parallèle au troisième côté.
- b) Dans un triangle de périmètre $18 \text{ cm}$, le triangle formé par les milieux des côtés a un périmètre de $6 \text{ cm}$.
- c) La droite des milieux partage le triangle en deux surfaces d'aires égales.
Corrigé
a) Vrai. C'est l'énoncé de la propriété 1.
b) Faux. Chaque côté du petit triangle mesure la moitié du côté correspondant du grand triangle. Le périmètre est donc divisé par 2 : $18 \div 2 = 9 \text{ cm}$.
c) Faux. L'aire du petit triangle est $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ de l'aire du grand triangle. Le trapèze restant représente donc les $3/4$ de l'aire totale.