Tangente à un cercle et Bissectrice
Exercice 1 : Reconnaître une tangente
On considère un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $4 \text{ cm}$. On place un point $M$ sur ce cercle.
La droite $(d)$ est perpendiculaire au segment $[OM]$ en $M$.
Démontrer que la droite $(d)$ est une tangente au cercle $(\mathcal{C})$.
Corrigé
On sait que $M$ est un point du cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$, donc $[OM]$ est un rayon de ce cercle.
La droite $(d)$ est perpendiculaire au rayon $[OM]$ au point $M$.
Or, la définition d'une tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon issu de ce point.
On en déduit donc que la droite $(d)$ est la tangente au cercle $(\mathcal{C})$ au point $M$.
Exercice 2 : Comparaison de distances
Soit une droite $(d)$ et un point $A$ n'appartenant pas à $(d)$. $H$ est le pied de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$. On a $AH = 5 \text{ cm}$.
Soit $M$ un autre point de la droite $(d)$, distinct de $H$. On mesure $AM = 6 \text{ cm}$.
Expliquer pourquoi $AM > AH$ est une conséquence logique de la définition de la distance d'un point à une droite.
Corrigé
La distance d'un point $A$ à une droite $(d)$ est la plus petite distance entre le point $A$ et n'importe quel point de la droite $(d)$.
Cette distance minimale correspond à la longueur du segment $[AH]$ où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.
Le triangle $AMH$ est rectangle en $H$. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus long.
Ici, $[AM]$ est l'hypoténuse, donc on a nécessairement $AM > AH$.
Exercice 3 : Point sur une bissectrice
Soit un angle $\widehat{xOy}$. On place un point $P$ à l'intérieur de cet angle. De $P$, on trace la perpendiculaire à $[Ox)$ qui coupe $[Ox)$ en $M$. De $P$, on trace la perpendiculaire à $[Oy)$ qui coupe $[Oy)$ en $N$. On mesure $PM = 3 \text{ cm}$ et $PN = 3 \text{ cm}$.
Démontrer que le point $P$ appartient à la bissectrice de l'angle $\widehat{xOy}$.
Corrigé
Les segments $[PM]$ et $[PN]$ représentent les distances respectives du point $P$ aux côtés $[Ox)$ et $[Oy)$ de l'angle, car ils sont perpendiculaires à ces côtés.
On a $PM = PN = 3 \text{ cm}$, donc le point $P$ est équidistant des deux côtés de l'angle.
Or, si un point situé à l'intérieur d'un angle est à égale distance des côtés de cet angle, alors il appartient à sa bissectrice.
On en déduit donc que le point $P$ appartient à la bissectrice de l'angle $\widehat{xOy}$.
Exercice 4 : Construire une tangente
1. Tracer un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $4 \text{ cm}$.
2. Placer un point $A$ sur le cercle $(\mathcal{C})$.
3. Construire la droite $(d)$ tangente au cercle $(\mathcal{C})$ en $A$.
Décrire les étapes de construction et justifier.
Corrigé
Étapes de construction :
- Tracer le rayon $[OA]$.
- À l'aide d'une équerre, tracer la droite perpendiculaire à $[OA]$ passant par $A$.
Justification : Par définition, la tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon issu de ce point. En construisant la perpendiculaire à $[OA]$ en $A$, on obtient donc la tangente $(d)$ demandée.
Exercice 5 : Vrai ou Faux
Répondre par Vrai ou Faux et justifier :
- a) Si une droite touche un cercle en un seul point, elle est perpendiculaire au rayon issu de ce point.
- b) La distance d'un point à une droite est toujours la plus courte longueur possible.
- c) Tous les points d'une bissectrice sont à égale distance des côtés de l'angle.
Corrigé
a) Vrai. C'est la propriété caractéristique de la tangente.
b) Vrai. Par définition géométrique, la distance d'un point à une droite est la longueur du segment perpendiculaire, qui est le plus court chemin.
c) Vrai. C'est la propriété fondamentale des points de la bissectrice d'un angle.