Démontrer qu'un triangle est rectangle
Exercice 1 : Cercle et diamètre
On considère un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $3 \text{ cm}$.
$E, F$ et $G$ sont trois points distincts de ce cercle $(\mathcal{C})$ tels que la longueur du segment $[EG]$ est égale à $6 \text{ cm}$.
Démontrer que le triangle $EFG$ est rectangle.
Corrigé
Le cercle $(\mathcal{C})$ a un rayon de $3 \text{ cm}$. Son diamètre mesure donc $2 \times 3 \text{ cm} = 6 \text{ cm}$.
On constate que le côté $[EG]$ du triangle mesure $6 \text{ cm}$, donc $[EG]$ est un diamètre du cercle $(\mathcal{C})$.
Puisque le triangle $EFG$ est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés $[EG]$ est un diamètre, on en déduit donc que le triangle $EFG$ est rectangle en $F$.
Exercice 2 : Médiane et triangle rectangle
Soit $RST$ un triangle. On appelle $I$ le milieu du segment $[RT]$.
Sachant que la longueur de la médiane $[SI]$ est de $4 \text{ cm}$ et que la longueur du côté $[RT]$ est de $8 \text{ cm}$.
Démontrer que le triangle $RST$ est rectangle.
Corrigé
Dans le triangle $RST$, $[SI]$ est la médiane issue de $S$ car $I$ est le milieu du côté opposé $[RT]$.
On calcule la moitié de la longueur du côté $[RT]$ : $\dfrac{RT}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \text{ cm}$.
On constate que $SI = \dfrac{RT}{2}$.
Si, dans un triangle, la médiane issue d'un sommet mesure la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet. On en déduit donc que le triangle $RST$ est rectangle en $S$.
Exercice 3 : Calcul de médiane
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. L'hypoténuse $[BC]$ mesure $9 \text{ cm}$.
On appelle $M$ le milieu du segment $[BC]$.
Calculer la longueur de la médiane $[AM]$. Justifier.
Corrigé
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Le segment $[AM]$ est la médiane relative à l'hypoténuse $[BC]$.
On sait que dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
On a donc : $AM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{9}{2} = \color{#D93025}{4,5}$.
La médiane $[AM]$ mesure donc $4,5 \text{ cm}$.
Exercice 4 : Construction et justification
1. Tracer un segment $[AB]$ de $7 \text{ cm}$. Placer son milieu $O$.
2. Placer un point $C$ tel que $OC = 3,5 \text{ cm}$.
3. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Corrigé
Dans le triangle $ABC$, $[CO]$ est la médiane issue de $C$ car $O$ est le milieu de $[AB]$.
On a $AB = 7 \text{ cm}$, donc $\dfrac{AB}{2} = 3,5 \text{ cm}$.
Comme $OC = 3,5 \text{ cm}$, on a $OC = \dfrac{AB}{2}$.
La médiane issue de $C$ mesure la moitié du côté opposé, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Exercice 5 : Vrai ou Faux
Répondre par Vrai ou Faux :
- a) Si $IJK$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[IJ]$, alors il est rectangle en $K$.
- b) Si $ABC$ a une médiane de $5 \text{ cm}$ relative à un côté de $9 \text{ cm}$, alors il est rectangle.
- c) Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de celle-ci.
Corrigé
a) Vrai. C'est la propriété du cercle circonscrit.
b) Faux. Il faudrait que la médiane mesure $\dfrac{9}{2} = 4,5 \text{ cm}$.
c) Vrai. C'est la propriété directe de la médiane.