Exercices : Démontrer qu'un triangle est rectangle

Hypothèses :

• Dans le triangle RST, I est le milieu de [RT]. (SI) est donc la médiane issue de S.
• Longueur de la médiane [SI] = 4 cm.
• Longueur du côté [RT] = 8 cm.

Analyse :

On compare la longueur de la médiane [SI] à la moitié de la longueur du côté [RT].

$\dfrac{RT}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.

On constate que $SI = \dfrac{RT}{2}$ (car 4 cm = 4 cm).

Conclusion :

Si dans un triangle (RST), la médiane issue d'un sommet ([SI]) mesure la moitié de la longueur du côté opposé ([RT]), alors ce triangle est rectangle en ce sommet (S).

Le triangle RST est rectangle en S.

Hypothèses :

• Le triangle ABC est rectangle en A.
• M est le milieu de l'hypoténuse [BC]. (AM) est donc la médiane issue de A.
• BC = 9 cm.

Propriété (directe) :

Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Conclusion :

On peut appliquer cette propriété au triangle ABC :

$AM = \dfrac{BC}{2}$

$AM = \dfrac{9}{2} = 4,5$ cm.

La médiane [AM] mesure 4,5 cm.

Hypothèses (d'après la construction) :

• Dans le triangle ABC, O est le milieu de [AB]. (CO) est donc la médiane issue de C.
• AB = 7 cm.
• OC = 3,5 cm.

Analyse :

On compare la longueur de la médiane [CO] à la moitié de la longueur du côté [AB].

$\dfrac{AB}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5$ cm.

On constate que $CO = \dfrac{AB}{2}$ (car 3,5 cm = 3,5 cm).

Conclusion :

Si dans un triangle (ABC), la médiane issue d'un sommet ([CO]) mesure la moitié de la longueur du côté opposé ([AB]), alors ce triangle est rectangle en ce sommet (C).

Le triangle ABC est rectangle en C.

(On peut aussi remarquer que O est le centre du cercle circonscrit à ABC, car OA = OB = OC = 3,5 cm. Comme [AB] est un diamètre, le triangle est rectangle en C.)

a) Vrai. (Application de la Propriété 3). Si un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, ce triangle est rectangle.

b) Faux. Pour que le triangle soit rectangle en A, il faudrait que $AM = \dfrac{BC}{2}$. Ici, $\dfrac{BC}{2} = \dfrac{9}{2} = 4,5$ cm. Puisque $AM = 5$ cm, la condition n'est pas remplie. $5 \neq 4,5$.

c) Vrai. C'est la propriété directe (réciproque de la Propriété 4).

d) Vrai. (Application de la Propriété 3). C'est une autre façon de formuler la propriété.