Triangle rectangle et cercle
Exercice 1 : Points sur un cercle
On considère deux triangles $IJK$ et $IJL$ rectangles respectivement en $K$ et en $L$.
Démontrer que les points $I, J, K$ et $L$ appartiennent tous au même cercle.
Préciser le centre et le diamètre de ce cercle.
Corrigé
1. Pour le triangle $IJK$ :
Le triangle $IJK$ est rectangle en $K$. On sait que si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Donc $K$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$.
2. Pour le triangle $IJL$ :
Le triangle $IJL$ est rectangle en $L$. De même, son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse $[IJ]$. Donc $L$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$.
Conclusion :
Les points $K$ et $L$ appartiennent tous deux au cercle de diamètre $[IJ]$. Par conséquent, les quatre points $I, J, K$ et $L$ appartiennent au même cercle.
Ce cercle a pour diamètre $[IJ]$ et son centre est le milieu du segment $[IJ]$.
Exercice 2 : Calcul de la médiane
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que la longueur de l'hypoténuse $[AC]$ est de $8 \text{ cm}$.
Soit $O$ le milieu du segment $[AC]$.
Calculer la longueur $OB$.
Corrigé
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Le point $O$ est le milieu de l'hypoténuse $[AC]$.
Le segment $[OB]$ est donc la médiane issue du sommet de l'angle droit.
On sait que dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
On a donc : $OB = \dfrac{AC}{2}$
$OB = \dfrac{8}{2}$
$OB = \color{#D93025}{4}$
Donc la longueur $OB$ mesure $4 \text{ cm}$.
Exercice 3 : Appartenance au cercle
On considère trois points $E, D$ et $C$. On sait que :
- L'angle $\widehat{AEB}$ mesure $80^\circ$.
- L'angle $\widehat{ADB}$ mesure $90^\circ$.
- L'angle $\widehat{ACB}$ mesure $120^\circ$.
Lequel de ces points appartient au cercle de diamètre $[AB]$ ? Justifier.
Corrigé
Pour qu'un point $M$ appartienne au cercle de diamètre $[AB]$, il faut que le triangle $ABM$ soit rectangle en $M$.
- Le triangle $AEB$ n'est pas rectangle en $E$ ($80^\circ \neq 90^\circ$). Donc $E$ n'appartient pas au cercle.
- Le triangle $ACB$ n'est pas rectangle en $C$ ($120^\circ \neq 90^\circ$). Donc $C$ n'appartient pas au cercle.
- Le triangle $ADB$ est rectangle en $D$ car $\widehat{ADB} = 90^\circ$.
On sait que si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Ici, l'hypoténuse est $[AB]$.
On en conclut donc que seul le point $D$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.