Médianes et Bissectrices du triangle
Exercice 1 : Définition de la Médiane
Soit un triangle $ABC$. On appelle $I$ le milieu du segment $[BC]$.
1. Comment appelle-t-on le segment $[AI]$ (ou la droite $(AI)$) pour le triangle $ABC$ ?
2. Quelle est la propriété de cette droite ?
Corrigé
1. Le segment $[AI]$ (ou la droite $(AI)$) est la médiane issue de $A$ (on dit aussi « relative au côté $[BC]$ »).
2. Par définition, une médiane est une droite qui passe par un sommet (ici $A$) et par le milieu du côté opposé (ici $I$, milieu de $[BC]$).
Exercice 2 : Définition de la Bissectrice
On considère un angle $\widehat{XYZ}$ qui mesure $68^\circ$. On trace la droite $(d)$ qui partage cet angle en deux angles égaux.
1. Comment appelle-t-on la droite $(d)$ ?
2. Quelle est la mesure de chacun des deux nouveaux angles formés par $(d)$ ?
Corrigé
1. La droite $(d)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{XYZ}$.
2. La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux. La mesure de chaque angle est donc : $68^\circ \div 2 = \color{#D93025}{34^\circ}$.
Exercice 3 : Point de Concours des Bissectrices
Dans un triangle $ABC$, on trace les trois bissectrices des angles $\widehat{BAC}$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCA}$. Elles se coupent en un point unique, qu'on appelle $O$.
Que représente ce point $O$ ?
Corrigé
Les trois bissectrices d'un triangle sont toujours concourantes. Leur point de concours (le point $O$) est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Ce cercle est situé à l'intérieur du triangle et il est tangent aux trois côtés du triangle $ABC$.
Exercice 4 : Cas Particulier (Triangle Isocèle)
Soit $EFG$ un triangle isocèle en $E$ (sommet principal). On trace la droite $(d)$ qui est la médiane issue de $E$.
Quelles sont les trois autres propriétés de la droite $(d)$ ?
Corrigé
Puisque le triangle est isocèle en $E$, la médiane issue du sommet principal est un axe de symétrie. On en déduit donc que la droite $(d)$ est aussi :
- La hauteur issue de $E$ (donc $(d) \perp (FG)$).
- La bissectrice de l'angle $\widehat{FEG}$.
- La médiatrice du segment $[FG]$ (la base du triangle).
Exercice 5 : Cas Particulier (Triangle Équilatéral)
Soit $RST$ un triangle équilatéral. On trace la droite $(m)$ qui est la médiane issue de $R$.
1. La droite $(m)$ est-elle aussi la bissectrice de l'angle $\widehat{SRT}$ ?
2. La droite $(m)$ est-elle aussi la hauteur issue de $R$ ?
3. Justifier les deux réponses en citant une propriété.
Corrigé
1. Oui.
2. Oui.
3. Justification : Dans un triangle équilatéral, les quatre droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice et médiatrice) issues de chaque sommet sont confondues.
On en conclut donc que la médiane $(m)$ issue de $R$ est aussi la hauteur et la bissectrice issues de $R$.