Hauteurs d'un triangle et Orthocentre
Exercice 1 : Définition et tracé
Soit $ABC$ un triangle. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.
1. Que représente le segment $[AH]$ pour le triangle $ABC$ ?
2. Tracer une figure à main levée d'un triangle $ABC$ acutangle (angles aigus) et placer le point $H$.
Corrigé
1. Le segment $[AH]$ représente la hauteur issue du sommet $A$ du triangle $ABC$ (relative au côté $[BC]$).
2. Figure illustratrice :
Exercice 2 : L'Orthocentre
On considère un triangle $MNP$. On trace les hauteurs issues de $M$ et de $N$. Elles se coupent en un point $O$.
1. Comment appelle-t-on le point $O$ ?
2. Que peut-on dire de la droite $(PO)$ par rapport au côté $[MN]$ ?
Corrigé
1. Le point $O$ est l'intersection de deux hauteurs du triangle $MNP$. On l'appelle l'orthocentre du triangle.
2. Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en l'orthocentre. Puisque $O$ est l'orthocentre, la droite $(PO)$ est la troisième hauteur du triangle. On peut donc affirmer que $(PO) \perp (MN)$.
Exercice 3 : Triangle rectangle
Soit $EFG$ un triangle rectangle en $E$.
1. Quelles sont les hauteurs issues des sommets $F$ et $G$ ?
2. Où se situe l'orthocentre de ce triangle ?
Corrigé
1. Dans un triangle rectangle en $E$ :
- La hauteur issue de $F$ est la droite $(FE)$ car elle passe par $F$ et est perpendiculaire au côté opposé $(EG)$.
- La hauteur issue de $G$ est la droite $(GE)$ car elle passe par $G$ et est perpendiculaire au côté opposé $(EF)$.
2. L'orthocentre est le point d'intersection des hauteurs. Puisque les hauteurs $(FE)$ et $(GE)$ se coupent en $E$, l'orthocentre d'un triangle rectangle est le sommet de l'angle droit (ici le point $E$).
Exercice 4 : Propriétés et parallèles
Soit $ABC$ un triangle. On trace la hauteur $(d)$ issue de $A$. Soit $(\Delta)$ une droite parallèle à $(BC)$.
Démontrer que $(d)$ est perpendiculaire à $(\Delta)$.
Corrigé
Données :
- $(d)$ est la hauteur issue de $A$, donc $(d) \perp (BC)$.
- $(\Delta) \parallel (BC)$.
Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Conclusion : Puisque $(d) \perp (BC)$ et $(\Delta) \parallel (BC)$, on en déduit donc que $(d) \perp (\Delta)$.
Exercice 5 : Orthocentres liés
Soit $ABC$ un triangle et $H$ son orthocentre. On considère maintenant le triangle formé par les points $B$, $C$ et $H$.
Démontrer que l'orthocentre du triangle $BCH$ est le point $A$.
Corrigé
Pour trouver l'orthocentre du triangle $BCH$, cherchons l'intersection de deux de ses hauteurs :
- La hauteur issue de $H$ dans $BCH$ est la droite passant par $H$ et perpendiculaire à $(BC)$. Or, dans le triangle $ABC$, la droite $(AH)$ est la hauteur issue de $A$, donc $(AH) \perp (BC)$. Cette hauteur est donc la droite $(AH)$.
- La hauteur issue de $B$ dans $BCH$ est la droite passant par $B$ et perpendiculaire à $(CH)$. Or, dans le triangle $ABC$, $H$ est l'orthocentre, donc $(CH)$ est la hauteur issue de $C$. On a donc $(AB) \perp (CH)$. Cette hauteur est donc la droite $(AB)$.
L'orthocentre du triangle $BCH$ est le point d'intersection des droites $(AH)$ et $(AB)$.
Ces deux droites se coupent au point $A$. Donc, l'orthocentre du triangle $BCH$ est bien le point $A$.