Médiatrices et cercle circonscrit
Exercice 1 : Symétrie et médiatrice
On considère deux droites $(d)$ et $(d')$ qui se coupent en $O$. Soit $A$ un point n'appartenant ni à $(d)$, ni à $(d')$.
On appelle $B$ le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ et $C$ le symétrique de $A$ par rapport à $(d')$.
Démontrer que $O$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$.
Corrigé
Puisque $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$, la droite $(d)$ est la médiatrice de $[AB]$.
Or $O \in (d)$, donc $OA = OB$ (propriété de la médiatrice).
De même, $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $(d')$, donc $(d')$ est la médiatrice de $[AC]$.
Or $O \in (d')$, donc $OA = OC$.
On en déduit que $OB = OC$.
Puisque le point $O$ est équidistant des points $B$ et $C$, on conclut donc que $O$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$.
Exercice 2 : Trouver le centre d'un cercle
Donner une méthode permettant de trouver le centre d'un cercle $(\mathcal{C})$ dont on ne connaît pas le centre.
Corrigé
Méthode de construction :
- Placer trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sur le cercle.
- Tracer les segments $[AB]$ et $[BC]$ (ce sont des cordes du cercle).
- Construire les médiatrices de ces deux segments.
- Le point d'intersection de ces deux médiatrices est le centre du cercle.
Justification : Les médiatrices des cordes d'un cercle se coupent toutes au centre du cercle (car le centre est équidistant de tous les points du cercle).
Exercice 3 : Parallélogrammes
Soit $ABC$ un triangle. La parallèle à $(BC)$ passant par $A$ coupe la parallèle à $(AC)$ passant par $B$ en $M$. Elle coupe la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ en $N$.
On appelle $(d)$ la hauteur passant par $A$ du triangle $ABC$.
Démontrer que $(d)$ est la médiatrice du segment $[MN]$.
Corrigé
Par construction, les quadrilatères $MACB$ et $ANCB$ ont leurs côtés opposés parallèles deux à deux. Ce sont donc des parallélogrammes.
Dans le parallélogramme $MACB$, on a $MA = BC$.
Dans le parallélogramme $ANCB$, on a $AN = BC$.
On en déduit que $MA = AN$. Puisque $M, A$ et $N$ sont sur la même parallèle à $(BC)$, alors $A$ est le milieu de $[MN]$.
De plus, $(MN) \parallel (BC)$ et $(d) \perp (BC)$ (car c'est une hauteur). Donc $(d) \perp (MN)$.
La droite $(d)$ passe par le milieu de $[MN]$ et lui est perpendiculaire, donc $(d)$ est la médiatrice de $[MN]$.
Exercice 4 : Propriétés (Vrai ou Faux)
Répondre par Vrai ou Faux :
- a) Le centre du cercle circonscrit est toujours à l'intérieur du triangle.
- b) Le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des hauteurs.
- c) Pour un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
- d) Tous les triangles ont un cercle circonscrit unique.
- e) Le rayon du cercle circonscrit est la distance entre son centre et un sommet.
Corrigé
a) Faux (il est à l'extérieur si le triangle a un angle obtus).
b) Faux (c'est l'intersection des médiatrices).
c) Vrai.
d) Vrai.
e) Vrai.