Réciproque de Pythagore
Exercice 1 : Triplet 3-4-5
On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = 3 \text{ cm}$ ; $BC = 4 \text{ cm}$ et $AC = 5 \text{ cm}$.
Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
Corrigé
Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AC]$.
D'une part : $AC^2 = 5^2 = \color{#D93025}{25}$
D'autre part : $AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = \color{#D93025}{25}$
On constate que $AC^2 = AB^2 + BC^2$. donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Exercice 2 : Grands nombres
Le triangle $EFG$ est tel que $EF = 192$, $FG = 320$ et $EG = 256$. Le triangle $EFG$ est-il rectangle ?
Corrigé
Dans le triangle $EFG$, le plus grand côté est $[FG]$.
D'une part : $FG^2 = 320^2 = \color{#D93025}{102\,400}$
D'autre part : $EF^2 + EG^2 = 192^2 + 256^2 = 36\,864 + 65\,536 = \color{#D93025}{102\,400}$
On constate que $FG^2 = EF^2 + EG^2$. donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ est rectangle en $E$.
Exercice 3 : Contraposée
On considère le triangle $KLM$ tel que $KL = 5,3 \text{ cm}$ ; $LM = 6,4 \text{ cm}$ et $KM = 3,6 \text{ cm}$. Le triangle $KLM$ est-il rectangle ?
Corrigé
Dans le triangle $KLM$, le plus grand côté est $[LM]$.
D'une part : $LM^2 = 6,4^2 = \color{#D93025}{40,96}$
D'autre part : $KL^2 + KM^2 = 5,3^2 + 3,6^2 = 28,09 + 12,96 = \color{#D93025}{41,05}$
On constate que $LM^2 \neq KL^2 + KM^2$. donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $KLM$ n'est pas rectangle.
Exercice 4 : Problème avec rectangle
$ABCD$ est un rectangle et $F$ est le milieu de $[AD]$. $AE = 2$, $DC = 8$ et $BC = 5$. Le triangle $FEC$ est-il rectangle ?
Corrigé
Calculons les carrés des côtés du triangle $FEC$ :
Dans $AEF$ rectangle en $A$ : $FE^2 = 2,5^2 + 2^2 = \color{#D93025}{10,25}$
Dans $FDC$ rectangle en $D$ : $FC^2 = 2,5^2 + 8^2 = \color{#D93025}{70,25}$
Dans $EBC$ rectangle en $B$ : $EC^2 = 6^2 + 5^2 = \color{#D93025}{61}$
Le plus grand côté est $[FC]$. $FE^2 + EC^2 = 10,25 + 61 = 71,25$.
Comme $FC^2 \neq FE^2 + EC^2$, le triangle $FEC$ n'est pas rectangle.
Exercice 5 : Distance DM
$ABCD$ est un rectangle. $M$ est sur $[DC]$. $AM = 8 \text{ cm}$ et $BM = 6 \text{ cm}$. Calculer $DM$ pour que $ABM$ soit rectangle en $M$.
Corrigé
Pour que $ABM$ soit rectangle en $M$, il faut $AB^2 = AM^2 + BM^2 = 8^2 + 6^2 = 100$. donc $AB = \color{#D93025}{10 \text{ cm}}$.
Posons $DM = x$. Dans $ADM$ rectangle en $D$ : $h^2 + x^2 = 64$.
Dans $BCM$ rectangle en $C$ : $h^2 + (10-x)^2 = 36$.
donc $64 - x^2 = 36 - (100 - 20x + x^2) \implies 64 = -64 + 20x$.
$20x = 128 \implies x = \color{#D93025}{6,4 \text{ cm}}$.