Théorème de Pythagore
Exercice 1 : Calculer une longueur
Dans un triangle rectangle, calculer la longueur manquante ($H$ est l'hypoténuse, $c_1$ et $c_2$ les côtés de l'angle droit) :
- a) $c_1 = 3 \text{ cm}$, $c_2 = 4 \text{ cm}$. Calculer $H$.
- b) $c_1 = 6 \text{ cm}$, $c_2 = 8 \text{ cm}$. Calculer $H$.
- c) $c_1 = 5 \text{ cm}$, $c_2 = 12 \text{ cm}$. Calculer $H$.
- d) $H = 5 \text{ cm}$, $c_1 = 3 \text{ cm}$. Calculer $c_2$.
- e) $H = 13 \text{ cm}$, $c_1 = 12 \text{ cm}$. Calculer $c_2$.
Corrigé
a) $H^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Donc $H = \sqrt{25} = \color{#D93025}{5 \text{ cm}}$.
b) $H^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Donc $H = \sqrt{100} = \color{#D93025}{10 \text{ cm}}$.
c) $H^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Donc $H = \sqrt{169} = \color{#D93025}{13 \text{ cm}}$.
d) $c_2^2 = H^2 - c_1^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$. Donc $c_2 = \sqrt{16} = \color{#D93025}{4 \text{ cm}}$.
e) $c_2^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$. Donc $c_2 = \sqrt{25} = \color{#D93025}{5 \text{ cm}}$.
Exercice 2 : Problèmes concrets
a) Un mât vertical de $5 \text{ m}$ est tenu par un câble de $6 \text{ m}$, fixé au sol. À quelle distance du pied du mât le câble est-il fixé ? (arrondir au cm).
b) Une étagère est-elle perpendiculaire au mur si elle mesure $20 \text{ cm}$ de profondeur, que le mur mesure $30 \text{ cm}$ sous l'étagère, et que la diagonale mesure $36 \text{ cm}$ ?
c) Calcule la longueur de la diagonale d'un carré de $5 \text{ cm}$ de côté (arrondir au mm).
d) Calcule la hauteur d'un triangle équilatéral de $8 \text{ cm}$ de côté (arrondir au mm).
Corrigé
a) Distance$^2 = 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$. Donc distance $= \sqrt{11} \approx \color{#D93025}{3,32 \text{ m}}$.
b) On vérifie si $20^2 + 30^2 = 36^2$. $400 + 900 = 1300$ et $36^2 = 1296$. Comme $1300 \neq 1296$, \color{#D93025}{l'étagère n'est pas perpendiculaire}.
c) $d^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. Donc $d = \sqrt{50} \approx \color{#D93025}{7,1 \text{ cm}}$.
d) La hauteur forme un triangle rectangle d'hypoténuse $8 \text{ cm}$ et de base $4 \text{ cm}$. $h^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$. Donc $h = \sqrt{48} \approx \color{#D93025}{6,9 \text{ cm}}$.
Exercice 3 : Figures et calculs
1 - Appliquer le théorème de Pythagore à la figure ci-dessous ($PQR$ rectangle en $P$).
2 - On considère un triangle $DEF$ rectangle en $F$ tel que $DF = 4,1 \text{ cm}$ et $EF = 7 \text{ cm}$. Calculer $DE$ (arrondir au mm).
Corrigé
1) Le triangle $PQR$ est rectangle en $P$, donc l'hypoténuse est $[QR]$. D'après Pythagore : \color{#D93025}{$QR^2 = PQ^2 + PR^2$}.
2) $DE^2 = 4,1^2 + 7^2 = 16,81 + 49 = 65,81$. Donc $DE = \sqrt{65,81} \approx \color{#D93025}{8,1 \text{ cm}}$.
Exercice 4 : Hauteur dans un triangle
$BUC$ est rectangle en $U$. $BU = 16$ et $BC = 20$. La hauteur issue de $U$ coupe $[BC]$ en $H$.
1 - Calculer $UC$.
2 - Calculer l'aire de $BUC$, puis en déduire la longueur $UH$.
Corrigé
1) $UC^2 = BC^2 - BU^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$. Donc $UC = \sqrt{144} = \color{#D93025}{12}$.
2) $\text{Aire} = \dfrac{16 \times 12}{2} = \color{#D93025}{96}$.
donc $\dfrac{20 \times UH}{2} = 96 \implies 10 \times UH = 96 \implies UH = \color{#D93025}{9,6}$.
Exercice 5 : Parallèles et angles droits
$MNP$ est rectangle en $N$. $MP = 25$, $MI = 8$ et $IN = 7$.
1 - Calculer $NP$.
2 - On admet $(IJ) || (NP)$. Démontrer que $(IJ) \perp (MN)$.
Corrigé
1) $MN = 8 + 7 = 15$. $NP^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$. Donc $NP = \color{#D93025}{20}$.
2) On sait que $(NP) \perp (MN)$ et $(IJ) || (NP)$. Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc \color{#D93025}{$(IJ) \perp (MN)$}.
Exercice 6 : Angles et Pythagore
Sachant $AC = 9 \text{ cm}$ et $AB = 10 \text{ cm}$, calculer $BC$ (arrondir au mm).
Corrigé
$\hat{C} = 180^\circ - (35^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $C$.
$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 9^2 = 100 - 81 = 19$. Donc $BC = \sqrt{19} \approx \color{#D93025}{4,4 \text{ cm}}$.
Exercice 7 : Aires et rectangle
$ABCD$ est un rectangle. $AB = 10,4 \text{ cm}$, $BE = 9,6 \text{ cm}$, $EF = 7,2 \text{ cm}$. $B$ est projeté orthogonal de $E$ sur $(AF)$.
1 - Calculer $AE$ et $AF$.
2 - Calculer l'aire de $ABF$.
Corrigé
1) $AE^2 = 10,4^2 - 9,6^2 = 108,16 - 92,16 = 16$. Donc $AE = \color{#D93025}{4 \text{ cm}}$.
donc $AF = 4 + 7,2 = \color{#D93025}{11,2 \text{ cm}}$.
2) $\text{Aire}(ABF) = \dfrac{AF \times BE}{2} = \dfrac{11,2 \times 9,6}{2} = \color{#D93025}{53,76 \text{ cm}^2}$.