Aire du Triangle et Hauteur
Exercice 1 : Calculer l'aire (Nombres entiers)
Calculer l'aire des triangles suivants, donnés par leur base ($b$) et leur hauteur ($h$) correspondante :
- a) $b = 10 \text{ cm}$, $h = 6 \text{ cm}$
- b) $b = 7 \text{ m}$, $h = 8 \text{ m}$
- c) $b = 12 \text{ km}$, $h = 5 \text{ km}$
- d) $b = 4 \text{ mm}$, $h = 9 \text{ mm}$
- e) $b = 20 \text{ cm}$, $h = 3 \text{ cm}$
Corrigé
a) $\text{Aire} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{10 \times 6}{2} = \dfrac{60}{2} = \color{#D93025}{30 \text{ cm}^2}$
b) $\text{Aire} = \dfrac{7 \times 8}{2} = \dfrac{56}{2} = \color{#D93025}{28 \text{ m}^2}$
c) $\text{Aire} = \dfrac{12 \times 5}{2} = \dfrac{60}{2} = \color{#D93025}{30 \text{ km}^2}$
d) $\text{Aire} = \dfrac{4 \times 9}{2} = \dfrac{36}{2} = \color{#D93025}{18 \text{ mm}^2}$
e) $\text{Aire} = \dfrac{20 \times 3}{2} = \dfrac{60}{2} = \color{#D93025}{30 \text{ cm}^2}$
Exercice 2 : Calculer l'aire (Nombres décimaux)
Calculer l'aire des triangles suivants :
- a) $b = 5,5 \text{ cm}$, $h = 4 \text{ cm}$
- b) $b = 10 \text{ m}$, $h = 3,2 \text{ m}$
- c) $b = 2,5 \text{ cm}$, $h = 6 \text{ cm}$
- d) $b = 7 \text{ cm}$, $h = 1,5 \text{ cm}$
- e) $b = 11 \text{ m}$, $h = 4,2 \text{ m}$
Corrigé
a) $\text{Aire} = \dfrac{5,5 \times 4}{2} = \dfrac{22}{2} = \color{#D93025}{11 \text{ cm}^2}$
b) $\text{Aire} = \dfrac{10 \times 3,2}{2} = \dfrac{32}{2} = \color{#D93025}{16 \text{ m}^2}$
c) $\text{Aire} = \dfrac{2,5 \times 6}{2} = \dfrac{15}{2} = \color{#D93025}{7,5 \text{ cm}^2}$
d) $\text{Aire} = \dfrac{7 \times 1,5}{2} = \dfrac{10,5}{2} = \color{#D93025}{5,25 \text{ cm}^2}$
e) $\text{Aire} = \dfrac{11 \times 4,2}{2} = \dfrac{46,2}{2} = \color{#D93025}{23,1 \text{ m}^2}$
Exercice 3 : Trouver la hauteur
Calculer la hauteur ($h$) d'un triangle connaissant son aire ($A$) et sa base ($b$) correspondante :
- a) $A = 30 \text{ cm}^2$, $b = 10 \text{ cm}$
- b) $A = 14 \text{ m}^2$, $b = 4 \text{ m}$
- c) $A = 50 \text{ km}^2$, $b = 20 \text{ km}$
- d) $A = 27 \text{ mm}^2$, $b = 6 \text{ mm}$
- e) $A = 100 \text{ cm}^2$, $b = 25 \text{ cm}$
Corrigé
On utilise la formule : $h = \dfrac{2 \times A}{b}$
a) $h = \dfrac{2 \times 30}{10} = \dfrac{60}{10} = \color{#D93025}{6 \text{ cm}}$
b) $h = \dfrac{2 \times 14}{4} = \dfrac{28}{4} = \color{#D93025}{7 \text{ m}}$
c) $h = \dfrac{2 \times 50}{20} = \dfrac{100}{20} = \color{#D93025}{5 \text{ km}}$
d) $h = \dfrac{2 \times 27}{6} = \dfrac{54}{6} = \color{#D93025}{9 \text{ mm}}$
e) $h = \dfrac{2 \times 100}{25} = \dfrac{200}{25} = \color{#D93025}{8 \text{ cm}}$
Exercice 4 : Trouver la base
Calculer la base ($b$) d'un triangle connaissant son aire ($A$) et sa hauteur ($h$) correspondante :
- a) $A = 45 \text{ cm}^2$, $h = 9 \text{ cm}$
- b) $A = 22 \text{ m}^2$, $h = 4 \text{ m}$
- c) $A = 18 \text{ km}^2$, $h = 3 \text{ km}$
- d) $A = 50 \text{ mm}^2$, $h = 10 \text{ mm}$
- e) $A = 7,5 \text{ cm}^2$, $h = 3 \text{ cm}$
Corrigé
On utilise la formule : $b = \dfrac{2 \times A}{h}$
a) $b = \dfrac{2 \times 45}{9} = \dfrac{90}{9} = \color{#D93025}{10 \text{ cm}}$
b) $b = \dfrac{2 \times 22}{4} = \dfrac{44}{4} = \color{#D93025}{11 \text{ m}}$
c) $b = \dfrac{2 \times 18}{3} = \dfrac{36}{3} = \color{#D93025}{12 \text{ km}}$
d) $b = \dfrac{2 \times 50}{10} = \dfrac{100}{10} = \color{#D93025}{10 \text{ mm}}$
e) $b = \dfrac{2 \times 7,5}{3} = \dfrac{15}{3} = \color{#D93025}{5 \text{ cm}}$
Exercice 5 : Vrai ou Faux
Répondre par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes :
- a) Un triangle de base 10 m et hauteur 5 m a une aire de $25 \text{ m}^2$.
- b) Si on double la base d'un triangle sans changer la hauteur, on double son aire.
- c) Si on double la base et la hauteur, l'aire est aussi doublée.
- d) Un triangle de base 6 m et hauteur 4 m a une aire de $12 \text{ m}^2$.
- e) Dans un triangle avec un angle obtus, la hauteur est toujours à l'intérieur.
Corrigé
a) Vrai. $\dfrac{10 \times 5}{2} = 25$.
b) Vrai. $\dfrac{2b \times h}{2} = 2 \times \text{Aire initiale}$.
c) Faux. L'aire est quadruplée : $\dfrac{2b \times 2h}{2} = 4 \times \text{Aire initiale}$.
d) Vrai. $\dfrac{6 \times 4}{2} = 12$.
e) Faux. Elle peut être à l'extérieur.
Exercice 6 : Problèmes d'application
Résoudre les problèmes suivants :
- a) Un triangle a une aire de $12,5 \text{ cm}^2$ et sa base mesure $5 \text{ cm}$. Quelle est sa hauteur ?
- b) L'aire d'un triangle est $16 \text{ m}^2$ et sa hauteur mesure $8 \text{ m}$. Quelle est sa base ?
- c) Une voile de bateau triangulaire a une base de $4 \text{ m}$ et une hauteur de $6 \text{ m}$. Quelle est son aire ?
- d) L'aire d'un triangle rectangle est $24 \text{ cm}^2$. Un côté de l'angle droit mesure $6 \text{ cm}$. Combien mesure l'autre ?
- e) M. Dupont peint un pignon triangulaire de $8 \text{ m}$ de base et $3,5 \text{ m}$ de hauteur. Quelle surface doit-il peindre ?
Corrigé
a) $h = \dfrac{2 \times 12,5}{5} = \dfrac{25}{5} = \color{#D93025}{5 \text{ cm}}$
b) $b = \dfrac{2 \times 16}{8} = \dfrac{32}{8} = \color{#D93025}{4 \text{ m}}$
c) $\text{Aire} = \dfrac{4 \times 6}{2} = \color{#D93025}{12 \text{ m}^2}$
d) $h = \dfrac{2 \times 24}{6} = \dfrac{48}{6} = \color{#D93025}{8 \text{ cm}}$
e) $\text{Aire} = \dfrac{8 \times 3,5}{2} = \dfrac{28}{2} = \color{#D93025}{14 \text{ m}^2}$