Volumes et Sphères

1. Volume du cylindre et de la demi-boule :

Cylindre : $V = \pi \times R^2 \times h$. Ici $R=6$ et $h=6$.
$V_1 = \pi \times 6^2 \times 6 = 36 \times 6 \times \pi = \mathbf{216\pi}$.

Demi-boule : $V = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \times \pi \times R^3)$. Ici $R=6$.
$V_2 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 216 = 2 \times 72 \times \pi = \mathbf{144\pi}$.

2. Volume du cône :

Cône : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$.
$V_3 = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 6 = \frac{1}{3} \times 36 \times 6 \times \pi = 12 \times 6 \times \pi = \mathbf{72\pi}$.

3. Comparaison :

$\frac{V_2}{V_3} = \frac{144\pi}{72\pi} = 2$. Donc $V_2 = 2V_3$.

4. Démonstration générale :

$V_{demi-boule} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3$.
$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 \times h$. Avec $h=R$, on a $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^3$.
On constate bien que $\frac{2}{3} \pi R^3 = 2 \times (\frac{1}{3} \pi R^3)$, donc le volume de la demi-boule est le double de celui du cône.

1. Volume de la boîte cubique :

L'arête $a = 7$ cm.
$V_{cube} = a^3 = 7^3 = \mathbf{343 \text{ cm}^3}$.

2. Volume de la boule :

Le diamètre est $7$ cm, donc le rayon $R = 3,5$ cm.
$V_{boule} = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 3,5^3 \approx \mathbf{179,6 \text{ cm}^3}$.

3. Taux de remplissage :

$\frac{V_{boule}}{V_{cube}} = \frac{179,6}{343} \approx 0,524$.

En pourcentage, le taux de remplissage est d'environ 52 %.

1. Volume d'une boule de pétanque :

$V_{boule} = \frac{4}{3} \times \pi \times R^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 32^3$.
$V_{boule} \approx \mathbf{137\,258 \text{ mm}^3}$ (soit environ $137$ cm$^3$).

2. Volume du cylindre :

$V_{cylindre} = \pi \times R^2 \times h = \pi \times 32^2 \times 64$.
$V_{cylindre} \approx \mathbf{205\,887 \text{ mm}^3}$ (soit environ $206$ cm$^3$).

3. Volume de l'espace libre :

L'étui complet est formé du cylindre central et de deux demi-sphères aux extrémités. Les deux demi-sphères forment une sphère complète.
L'étui contient 2 boules. L'une occupe les deux demi-sphères (puisque $2$ demi-sphères = $1$ boule) et l'autre occupe le cylindre ?

Raisonnement détaillé : Le volume total de l'étui est $V_{cylindre} + V_{boule}$ (les 2 bouts). Le volume occupé par les deux boules est $2 \times V_{boule}$.
L'espace libre est donc : $(V_{cylindre} + V_{boule}) - 2 V_{boule} = V_{cylindre} - V_{boule}$.

$V_{libre} = 205\,887 - 137\,258 = \mathbf{68\,629 \text{ mm}^3}$.
Le volume laissé libre est d'environ $69$ cm$^3$.

1. Nature du triangle ABC :

Le plus grand côté est $[BC]$ avec $BC = 68$.
$BC^2 = 68^2 = 4624$.
$AB^2 + AC^2 = 32^2 + 60^2 = 1024 + 3600 = 4624$.
On a $BC^2 = AB^2 + AC^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2. Volume de la pyramide SABC :

$V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$.
La base est le triangle ABC rectangle en A, son aire est $\frac{AB \times AC}{2} = \frac{32 \times 60}{2} = 960 \text{ mm}^2$.
La hauteur est $SA = 65$ mm (car SA est perpendiculaire à AB et AC).
$V = \frac{1}{3} \times 960 \times 65 = 320 \times 65 = \mathbf{20\,800 \text{ mm}^3}$.

3. Patron :

Pour construire le patron, il faut tracer :

• Le triangle SAB rectangle en A ($SA=65, AB=32$).
• Le triangle SAC rectangle en A ($SA=65, AC=60$).
• Le triangle ABC rectangle en A ($AB=32, AC=60$).
• Le triangle SBC attaché à SB ou SC, en reportant les longueurs au compas ($SB$ hypoténuse de SAB, $SC$ hypoténuse de SAC, $BC=68$).

1. Angle $\widehat{ASH}$ :

Dans le triangle SAH rectangle en H :
$\tan(\widehat{ASH}) = \frac{AH}{SH} = \frac{2}{10} = 0,2$.
Donc $\widehat{ASH} \approx \mathbf{11^\circ}$.

2. Longueur EK :

Dans le triangle ESK rectangle en K, l'angle $\widehat{ESK}$ est le même que $\widehat{ASH}$.
$\tan(\widehat{ESK}) = \frac{EK}{SK} \Rightarrow 0,2 = \frac{EK}{4}$.
$EK = 0,2 \times 4 = \mathbf{0,8 \text{ cm}}$.

3. Volumes :

a) Volume $V_1$ (Grand Cône) : $R=2, h=10$.
$V_1 = \frac{1}{3}\pi \times 2^2 \times 10 = \frac{40\pi}{3} \approx 41,9 \text{ cm}^3$.
Volume $V_2$ (Petit Cône) : $R=0,8, h=4$.
$V_2 = \frac{1}{3}\pi \times 0,8^2 \times 4 = \frac{1}{3}\pi \times 0,64 \times 4 = \frac{2,56\pi}{3} \approx 2,7 \text{ cm}^3$.

b) Volume $V_3$ (Demi-boule) : $R=2$.
$V_3 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi \times 2^3 = \frac{16\pi}{3} \approx 16,8 \text{ cm}^3$.

c) Volume Total :
$V_{total} = V_{demi-boule} + (V_{grand\_cone} - V_{petit\_cone})$
$V_{total} \approx 16,8 + (41,9 - 2,7) = 16,8 + 39,2 = \mathbf{56 \text{ cm}^3}$.