Interprétation graphique d'un système

1. Première équation : $2x + y = 4$

On isole $y$ :

$$ y = -2x + 4 $$

2. Seconde équation : $x - 2y = 6$

On isole $-2y$ puis $y$ :

$$ -2y = -x + 6 $$ $$ y = \dfrac{-x}{-2} + \dfrac{6}{-2} $$ $$ y = 0,5x - 3 $$

3. Coefficients

Pour la droite $y = -2x + 4$ :

• Le coefficient directeur est $-2$.
• L'ordonnée à l'origine est $4$.

Système A :

Les deux équations sont sous la forme $y = ax+b$.

• Coefficient directeur de la 1ère droite : $a = 3$.
• Coefficient directeur de la 2ème droite : $a' = 3$.

Les coefficients directeurs sont identiques et les ordonnées à l'origine différentes ($2 \neq -5$). Les droites sont donc strictement parallèles. Le système n'a pas de solution.

Système B :

• Coefficient directeur de la 1ère droite : $a = 2$.
• Coefficient directeur de la 2ème droite : $a' = -1$.

Les coefficients directeurs sont différents. Les droites sont donc sécantes. Le système admet une unique solution.

1. Transformation :

$$ \begin{cases} y = -4x + 7 \\ -y = -x + 3 \Rightarrow y = x - 3 \end{cases} $$

2. Vérification pour $(x=2 ; y=-1)$ :

• Équation 1 : $4 \times 2 + (-1) = 8 - 1 = 7$. (Vrai)
• Équation 2 : $2 - (-1) = 2 + 1 = 3$. (Vrai)

Le couple $(2 ; -1)$ vérifie les deux équations, c'est donc la solution du système.

3. Interprétation graphique :

Le point $M(2 ; -1)$ est le point d'intersection des droites d'équations $y = -4x + 7$ et $y = x - 3$.

1. Lecture graphique :

Le point K est l'intersection des deux droites. En projetant sur les axes, on lit : K(1 ; 2).

2. Association des droites :

• $y = x + \mathbf{1}$ : L'ordonnée à l'origine est 1. La droite rouge $(d_1)$ coupe l'axe des ordonnées en 1. Donc $(d_1)$ correspond à $y = x + 1$.
• $y = -2x + \mathbf{4}$ : L'ordonnée à l'origine est 4. La droite verte $(d_2)$ coupe l'axe des ordonnées en 4. Donc $(d_2)$ correspond à $y = -2x + 4$.

3. Résolution du système :

Le système donné équivaut à trouver l'intersection des deux droites identifiées. La solution est donc les coordonnées du point K : $(1 ; 2)$.

1. Coefficient directeur de $(d)$ :

L'équation est $y = \mathbf{0,5}x + 2$. Le coefficient directeur est $0,5$.

2. Coefficient directeur de $(d')$ :

Puisque les droites sont parallèles, elles ont le même coefficient directeur. Celui de $(d')$ est donc aussi $0,5$.

3. Équation de $(d')$ :

L'équation est de la forme $y = 0,5x + p$.

La droite passe par $(0 ; -1)$, donc l'ordonnée à l'origine $p$ est $-1$.

L'équation est : $y = 0,5x - 1$.

4. Nombre de solutions :

Les droites étant strictement parallèles (ordonnées à l'origine différentes : $2 \neq -1$), elles ne se coupent jamais.

Le système n'admet aucune solution.