Exercices sur les Sections Planes d'un Solide

1. Nature de la section

On sait que la section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle.

2. Dimensions de la section

Puisque le plan est parallèle à la face ABCD, la section est un rectangle identique à ABCD.

Les dimensions de la section sont donc les mêmes que celles de la face ABCD :

Longueur = $AB = 10$ cm et Largeur = $BC = 6$ cm.

1. Section parallèle à l'axe

On sait que la section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle.

L'une des dimensions de ce rectangle est la hauteur du cylindre, soit 12 cm.

2. Section perpendiculaire à l'axe

On sait que la section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle.

Ce cercle est identique aux bases du cylindre. Son rayon est donc le même que le rayon de base, soit 5 cm.

1. Nature de la section

On sait que la section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction du polygone de base. Comme la base ABCD est un carré, la section A'B'C'D' est également un carré.

2. Coefficient de réduction

La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Le coefficient de réduction $k$ est le rapport des hauteurs :

$$ k = \dfrac{\text{petite hauteur}}{\text{grande hauteur}} = \dfrac{SO'}{SO} $$ $$ k = \dfrac{3}{10} = 0,3 $$

Le coefficient de réduction est $k = 0,3$.

3. Longueur du côté [A'B']

Les longueurs de la petite pyramide s'obtiennent en multipliant les longueurs de la grande par $k$ :

$$ A'B' = k \times AB $$ $$ A'B' = 0,3 \times 6 = 1,8 \text{ cm} $$

Le côté de la section mesure $1,8$ cm.

1. Nature de la section

On sait que la section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle. C'est une réduction du cercle de base.

2. Calcul de la hauteur $h'$

Le petit cône (de hauteur $h'$ et rayon $r=6$) est une réduction du grand cône (de hauteur $H=20$ et rayon $R=8$).

Le coefficient de réduction $k$ peut se calculer avec les rayons :

$$ k = \dfrac{\text{petit rayon}}{\text{grand rayon}} = \dfrac{r}{R} $$ $$ k = \dfrac{6}{8} = 0,75 $$

Ce même coefficient s'applique aux hauteurs :

$$ h' = k \times H $$ $$ h' = 0,75 \times 20 = 15 \text{ cm} $$

La distance entre le sommet et la section est $h' = 15$ cm.

1. Nature de la section

On sait que la section d'une sphère par un plan est un cercle.

2. Calcul du rayon $r$ de la section

Soit $P$ un point sur le cercle de section. Le triangle OHP est un triangle rectangle en H.

• $OP$ est le rayon de la sphère : $R = 10$ cm (c'est l'hypoténuse).
• $OH$ est la distance du centre au plan : $d = 8$ cm.
• $HP$ est le rayon de la section : $r = ?$.

D'après le théorème de Pythagore :

$$ OP^2 = OH^2 + HP^2 $$ $$ R^2 = d^2 + r^2 $$ $$ 10^2 = 8^2 + r^2 $$ $$ 100 = 64 + r^2 $$ $$ r^2 = 100 - 64 $$ $$ r^2 = 36 $$ $$ r = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} $$

Le rayon de la section est $r = 6$ cm.