Exercices de Trigonométrie

On utilise la relation fondamentale de la trigonométrie :

$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

On remplace $\sin x$ par sa valeur :

$$ (0,6)^2 + \cos^2 x = 1 $$ $$ 0,36 + \cos^2 x = 1 $$

On isole $\cos^2 x$ :

$$ \cos^2 x = 1 - 0,36 $$ $$ \cos^2 x = 0,64 $$

On prend la racine carrée (on suppose $x$ aigu, donc $\cos x$ est positif) :

$$ \cos x = \sqrt{0,64} $$ $$ \cos x = 0,8 $$

Maintenant, on calcule $\tan x$ avec la formule $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ :

$$ \tan x = \dfrac{0,6}{0,8} $$ $$ \tan x = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} $$ $$ \tan x = 0,75 $$

Conclusion : $\cos x = 0,8$ et $\tan x = 0,75$.

On utilise la relation fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

$$ \sin^2 x + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 $$

On calcule le carré :

$$ \sin^2 x + \dfrac{3}{4} = 1 $$

On isole $\sin^2 x$ :

$$ \sin^2 x = 1 - \dfrac{3}{4} $$ $$ \sin^2 x = \dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} $$

On prend la racine carrée (on suppose $x$ aigu, donc $\sin x$ est positif) :

$$ \sin x = \sqrt{\dfrac{1}{4}} $$ $$ \sin x = \dfrac{1}{2} $$

On calcule $\tan x$ avec la formule $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ :

$$ \tan x = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} $$ $$ \tan x = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} $$ $$ \tan x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} $$

On rationalise le dénominateur (facultatif mais recommandé) :

$$ \tan x = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $$

Conclusion : $\sin x = \dfrac{1}{2}$ et $\tan x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

(On reconnaît l'angle $x = 30^\circ$).

Dans le triangle ABC rectangle en A, nous avons les définitions suivantes :

• $\sin \hat{B} = \dfrac{AC}{BC}$ \quad et \quad $\sin \hat{C} = \dfrac{AB}{BC}$
• $\tan \hat{B} = \dfrac{AC}{AB}$ \quad et \quad $\tan \hat{C} = \dfrac{AB}{AC}$
• $\cos \hat{B} = \dfrac{AB}{BC}$

1. Démontrons $\dfrac{\sin \hat{B}}{AC} = \dfrac{\sin \hat{C}}{AB}$

Calculons le membre de gauche :

$$ \dfrac{\sin \hat{B}}{AC} = \dfrac{AC/BC}{AC} = \dfrac{AC}{BC \times AC} = \dfrac{1}{BC} $$

Calculons le membre de droite :

$$ \dfrac{\sin \hat{C}}{AB} = \dfrac{AB/BC}{AB} = \dfrac{AB}{BC \times AB} = \dfrac{1}{BC} $$

Les deux membres sont égaux à $\dfrac{1}{BC}$, donc l'égalité est démontrée.

2. Démontrons $(\tan \hat{B} + \tan \hat{C})^2 = (\tan \hat{B})^2 + (\tan \hat{C})^2 + 2$

Calculons d'abord le produit $\tan \hat{B} \times \tan \hat{C}$ :

$$ \tan \hat{B} \times \tan \hat{C} = \dfrac{AC}{AB} \times \dfrac{AB}{AC} = 1 $$

Maintenant, développons le membre de gauche avec l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ :

$$ (\tan \hat{B} + \tan \hat{C})^2 = (\tan \hat{B})^2 + (\tan \hat{C})^2 + 2 \times (\tan \hat{B} \times \tan \hat{C}) $$

On remplace le produit $\tan \hat{B} \times \tan \hat{C}$ par $1$ :

$$ (\tan \hat{B} + \tan \hat{C})^2 = (\tan \hat{B})^2 + (\tan \hat{C})^2 + 2 \times 1 $$

L'égalité est donc démontrée.

3. Démontrons $\dfrac{\cos \hat{B} \times \tan \hat{B}}{\sin \hat{B}} = 1$

On utilise la relation $\tan \hat{B} = \dfrac{\sin \hat{B}}{\cos \hat{B}}$.

Remplaçons $\tan \hat{B}$ dans le numérateur :

$$ \cos \hat{B} \times \tan \hat{B} = \cos \hat{B} \times \left(\dfrac{\sin \hat{B}}{\cos \hat{B}}\right) = \sin \hat{B} $$

L'expression devient :

$$ \dfrac{\sin \hat{B}}{\sin \hat{B}} = 1 $$

L'égalité est démontrée.

1. Schéma de la situation

On modélise la situation par un triangle ABC rectangle en A :

• A est la base du poteau (au sol).
• C est le sommet du poteau. [AC] est le poteau, donc $AC = 5$ m.
• B est le point d'ancrage au sol.
• [BC] est le câble.
• L'angle avec le sol est $\widehat{ABC} = 60^\circ$.

2. Calcul de la longueur du câble (BC)

Dans le triangle ABC rectangle en A :

• On connaît $\hat{B} = 60^\circ$.
• On connaît $AC = 5$ m (côté opposé à $\hat{B}$).
• On cherche $BC$ (l'hypoténuse).

On utilise le sinus :

$$ \sin(\hat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AC}{BC} $$ $$ \sin(60^\circ) = \dfrac{5}{BC} $$ $$ BC = \dfrac{5}{\sin(60^\circ)} $$

On sait que $\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc :

$$ BC = \dfrac{5}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{10}{\sqrt{3}} \approx 5,7735... \text{ m} $$

Arrondi au centimètre (0,01 m) : BC $\approx$ 5,77 m.

3. Calcul de la distance au sol (AB)

• On connaît $\hat{B} = 60^\circ$.
• On connaît $AC = 5$ m (côté opposé).
• On cherche $AB$ (côté adjacent).

On utilise la tangente :

$$ \tan(\hat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{AC}{AB} $$ $$ \tan(60^\circ) = \dfrac{5}{AB} $$ $$ AB = \dfrac{5}{\tan(60^\circ)} $$

On sait que $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, donc :

$$ AB = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2,8867... \text{ m} $$

Arrondi au centimètre (0,01 m) : AB $\approx$ 2,89 m.

Calcul de ST

Dans le triangle RST rectangle en S :

• On connaît $\hat{T} = 35^\circ$.
• On connaît $RS = 7$ cm (côté opposé à $\hat{T}$).
• On cherche $ST$ (côté adjacent à $\hat{T}$).

On utilise la tangente :

$$ \tan(\hat{T}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{RS}{ST} $$ $$ \tan(35^\circ) = \dfrac{7}{ST} $$ $$ ST = \dfrac{7}{\tan(35^\circ)} $$ $$ ST \approx \dfrac{7}{0,7002...} \approx 9,9968... \text{ cm} $$

Arrondi au millimètre (0,1 cm) : ST $\approx$ 10,0 cm.

Calcul de RT

• On connaît $\hat{T} = 35^\circ$.
• On connaît $RS = 7$ cm (côté opposé à $\hat{T}$).
• On cherche $RT$ (l'hypoténuse).

On utilise le sinus :

$$ \sin(\hat{T}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{RS}{RT} $$ $$ \sin(35^\circ) = \dfrac{7}{RT} $$ $$ RT = \dfrac{7}{\sin(35^\circ)} $$ $$ RT \approx \dfrac{7}{0,5735...} \approx 12,204... \text{ cm} $$

Arrondi au millimètre (0,1 cm) : RT $\approx$ 12,2 cm.