Exercices de Géométrie : Cercle et Triangles

Hypothèse: A, B et C sont des points distincts du cercle (C) de centre O. Les angles $\widehat{BOA}$ et $\widehat{BCA}$ interceptent le même arc.
Propriété: L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Conclusion: $\widehat{BOA} = 2 \widehat{BCA}$ d'où $50 = 2 \widehat{BCA}$ d'où $\widehat{BCA} = \dfrac{50}{2}$ donc BCA = 25°

Hypothèse: A, B et C sont des points distincts du cercle (C) de centre O. Les angles $\widehat{BOC}$ et $\widehat{BAC}$ interceptent le même arc.
Propriété: L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Conclusion: $\widehat{BOC} = 2 \widehat{BAC}$ d'où $150 = 2 \widehat{BAC}$ d'où $\widehat{BAC} = \dfrac{150}{2}$ donc BAC = 75°

Hypothèse: Dans le triangle ABC, $\widehat{BCA} = 25^\circ$ et $\widehat{BAC} = 75^\circ$.
Propriété: La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Conclusion: $\widehat{BCA} + \widehat{BAC} + \widehat{ABC} = 180$
$25 + 75 + \widehat{ABC} = 180$
$100 + \widehat{ABC} = 180$
$\widehat{ABC} = 180 - 100$ donc ABC = 80°

1 - Figure.

2 - Hypothèse: Le triangle ABD est rectangle en B.
Propriété: Définition de la tangente.
Conclusion: $\tan(\widehat{BAD}) = \dfrac{BD}{BA}$ d'où $\tan(40^\circ) = \dfrac{BD}{9}$
$BD = 9 \times \tan(40^\circ)$ donc BD $\approx$ 7,6 cm

3 - Hypothèse: Le triangle ABD est rectangle en B.
On appelle I le centre du cercle (C) circonscrit au triangle ABD.
Propriété: Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de l'hypoténuse.
Conclusion: I est le milieu de [AD].

4 - Hypothèse: (AS) est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAD}$ donc $\widehat{SAB} = \dfrac{1}{2} \widehat{BAD} = \dfrac{1}{2} \times 40 = 20^\circ$.
A, B et S sont des points distincts du cercle (C) de centre I. Les angles $\widehat{SIB}$ et $\widehat{SAB}$ interceptent le même arc.
Propriété: L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Conclusion: $\widehat{SIB} = 2 \widehat{SAB} = 2 \times 20^\circ$ donc SIB = 40°

1 - Hypothèse: A, C et D sont des points distincts du cercle (C) de centre O. Les angles $\widehat{COD}$ et $\widehat{CAD}$ interceptent le même arc.
Propriété: L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Conclusion: $\widehat{COD} = 2 \widehat{CAD}$ d'où $90 = 2 \widehat{CAD}$ d'où $\widehat{CAD} = \dfrac{90}{2}$ donc $\widehat{CAD} = 45^\circ$
De façon analogue, on démontre que: $\widehat{ADB} = 45^\circ$

2 - Hypothèse: Dans le triangle ADI, $\widehat{ADI} = 45^\circ$ et $\widehat{DAI} = 45^\circ$.
Propriété: La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Conclusion: $\widehat{ADI} + \widehat{DAI} + \widehat{AID} = 180$
$45 + 45 + \widehat{AID} = 180$
$90 + \widehat{AID} = 180$
$\widehat{AID} = 180 - 90$
$\widehat{AID} = 90^\circ$ donc (AC) $\perp$ (DB)

3 - Hypothèse: $\widehat{ADI} = \widehat{DAI} = 45^\circ$ et $\widehat{AID} = 90^\circ$.
Propriété: Si un triangle a 2 angles au sommet égaux alors il est isocèle en son troisième sommet.
Conclusion: Le triangle AID est isocèle en I, or il est rectangle en I, donc le triangle AID est rectangle isocèle en I.

4 - Hypothèse: B, C et D sont des points distincts du cercle (C) de centre O. Les angles $\widehat{COD}$ et $\widehat{CBD}$ interceptent le même arc.
Propriété: L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Conclusion: $\widehat{COD} = 2 \widehat{CBD}$ d'où $90 = 2 \widehat{CBD}$ d'où $\widehat{CBD} = \dfrac{90}{2}$ donc $\widehat{CBD} = 45^\circ$
De façon analogue, on démontre que: $\widehat{ACB} = 45^\circ$ et comme à la question 3, on en déduit que le triangle BIC est rectangle isocèle en I.

5 - Hypothèse: Les angles $\widehat{DAC}$ et $\widehat{ACB}$ sont alternes internes et $\widehat{DAC} = \widehat{ACB}$.
Propriété: Si 2 droites sont coupées par une sécantes et forment des angles alternes internes de même mesure alors ces droites sont parallèles.
Conclusion: (AD) // (BC)

1 - Figure ci-contre.

2 - Hypothèse: Le triangle ABC est rectangle en C.
Propriété: Définition de la tangente.
Conclusion: $\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{CB}{CA}$ d'où $\tan(40^\circ) = \dfrac{CB}{5}$
$CB = 5 \times \tan(40^\circ) \approx 4,19$
BC $\approx$ 4,2 cm

3 - a) Hypothèse: Le triangle ABC est rectangle en C.
Propriété: Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle.
Conclusion: [AB] est un diamètre du cercle circonscrit à ABC donc O est le milieu de [AB].

b) Figure ci-contre.

4 - Hypothèse: A, B, C sont des points distincts du cercle de centre O. Les angles $\widehat{BOC}$ et $\widehat{BAC}$ interceptent le même arc BC.
Propriété: L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Conclusion: $\widehat{BOC} = 2 \widehat{BAC} = 2 \times 40$ donc BOC = 80°

1 - Figure.

2 - Hypothèse: Le triangle STU est inscrit dans un cercle de diamètre [ST].
Propriété: Si un des côtés d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.
Conclusion: Le triangle STU est rectangle en U.

3 - Hypothèse: Le triangle STU est rectangle en U.
Propriété: La définition du sinus.
Conclusion: $\sin(\widehat{STU}) = \dfrac{SU}{ST}$ donc $\sin(\widehat{STU}) = \dfrac{3}{7}$
$\widehat{STU} = \sin^{-1}\left(\dfrac{3}{7}\right)$ donc STU $\approx$ 25,4°

4 - Hypothèse: S, T et U sont des points distincts du cercle de centre O. Les angles $\widehat{STU}$ et $\widehat{SOU}$ interceptent le même arc.
Propriété: L'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Conclusion: $\widehat{SOU} = 2 \widehat{STU}$
$\widehat{SOU} \approx 2 \times 25,4$ donc SOU $\approx$ 50,8°