Exercices sur la Réciproque de Thalès

1 - Hypothèse: Les droites (BD) et (EC) sont sécantes en A, et $\text{(DE)} \parallel \text{(BC)}$.
Propriété: Propriété de Thalès.
Conclusion: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ d'où $\dfrac{AD}{7,5} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{DE}{BC}$
$AD = \dfrac{4 \times 7,5}{6} = \dfrac{2 \times 2 \times 7,5}{2 \times 3} = \dfrac{2 \times 2,5 \times 3}{3} = 2 \times 2,5$ donc AD = 5 cm

2 - Hypothèse: Les points C, A, E et C, B, F sont alignés dans le même ordre.
$\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{6}{6+4} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{3}{5}$
$\dfrac{CB}{CF} = \dfrac{9}{9+6} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{3}{5}$
donc $\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CB}{CF}$
Propriété: Réciproque de Thalès.
Conclusion: (EF) // (AB)

3 - Hypothèse: Les droites (AE) et (BF) sont sécantes en C, et $\text{(EF)} \parallel \text{(AB)}$.
Propriété: Propriété de Thalès.
Conclusion: $\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CB}{CF} = \dfrac{AB}{EF}$ d'où $\dfrac{6}{6+4} = \dfrac{9}{9+6} = \dfrac{7,5}{EF}$
d'où $\dfrac{6}{10} = \dfrac{7,5}{EF}$
$EF = \dfrac{7,5 \times 10}{6} = \dfrac{75}{6} = \dfrac{2,5 \times 3 \times 5 \times 2}{2 \times 3} = 2,5 \times 5$ donc EF = 12,5 cm

1 - Hypothèse: Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O. $\text{(AB)} \parallel \text{(CD)}$.
Propriété: Propriété de Thalès.
Conclusion: $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}$ d'où $\dfrac{5}{5+4} = \dfrac{OB}{6,3} = \dfrac{4}{CD}$
d'où $\dfrac{5}{9} = \dfrac{OB}{6,3}$ et $\dfrac{5}{9} = \dfrac{4}{CD}$
$OB = \dfrac{5 \times 6,3}{9} = \dfrac{5 \times 6,3}{9} = 5 \times 0,7$ d'où OB = 3,5 cm
$CD = \dfrac{4 \times 9}{5} = \dfrac{36}{5}$ d'où CD = 7,2 cm

2 - Hypothèse: Les points O, A, C et O, D, E sont alignés.
$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{5}{5+4} = \dfrac{5}{9}$
$\dfrac{OD}{OE} = \dfrac{6,3}{6,3+5,04} = \dfrac{6,3}{11,34} = \dfrac{630}{1134} = \dfrac{126 \times 5}{126 \times 9} = \dfrac{5}{9}$
donc $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OD}{OE}$
Propriété: Réciproque de Thalès.
Conclusion: (AD) // (CE)

1 - Hypothèse: Les droites (FG) et (EH) sont sécantes en A. $\text{(EF)} \parallel \text{(HG)}$.
Propriété: Propriété de Thalès.
Conclusion: $\dfrac{AF}{AG} = \dfrac{AE}{AH} = \dfrac{EF}{HG}$ d'où $\dfrac{4}{AG} = \dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{HG}$
$\dfrac{4}{AG} = \dfrac{3}{7}$ d'où $AG = \dfrac{7 \times 4}{3} = \dfrac{28}{3}$
d'où AG $\approx$ 9,3 cm
$\dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{HG}$ d'où $HG = \dfrac{6 \times 7}{3} = \dfrac{2 \times 3 \times 7}{3} = 2 \times 7 = 14$
d'où HG = 14 cm

2 - Hypothèse: Les points I, A, F et J, A, E sont alignés dans le même ordre.
$\dfrac{AI}{AF} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{3}{2}$
$\dfrac{AJ}{AE} = \dfrac{4,5}{3} = \dfrac{45}{30} = \dfrac{3 \times 15}{2 \times 15} = \dfrac{3}{2}$
donc $\dfrac{AI}{AF} = \dfrac{AJ}{AE}$
Propriété: Réciproque de Thalès.
Conclusion: (IJ) // (EF)

1 - Figure.

2 - Hypothèse: ABCD est un rectangle donc le triangle ABC est rectangle en B. Les côtés d'un rectangle sont de même longueur 2 à 2 donc $BC = AD = 7$ cm.
Propriété: Propriété de Pythagore.
Conclusion: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$
donc AC = $\sqrt{74}$

3 - Hypothèse: Les points A, I, B et A, J, C sont alignés dans le même ordre.
$\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{5,1}{\sqrt{74}}$
On met les fractions au même dénominateur :
$\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{3 \times \sqrt{74}}{5 \times \sqrt{74}} = \dfrac{3\sqrt{74}}{5\sqrt{74}}$
$\dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{5,1 \times 5}{\sqrt{74} \times 5} = \dfrac{25,5}{5\sqrt{74}}$
or $3\sqrt{74} \approx 25,807$ (à $10^{-3}$ près) $\neq 25,5$
donc $\dfrac{AI}{AB} \neq \dfrac{AJ}{AC}$
Propriété: Propriété de Thalès (ou sa contraposée).
Conclusion: (IJ) n'est pas parallèle à (BC)

1 - Hypothèse: Le montant [BS] est perpendiculaire au sol donc le triangle ABS est rectangle en B.
Propriété: Propriété de Pythagore.
Conclusion: $AS^2 = AB^2 + BS^2 = 2,5^2 + 6^2 = 6,25 + 36 = 42,25$
$AS = \sqrt{42,25}$ donc AS = 6,5 m

2 - Le point M appartient au segment [AS] donc $SM = SA - MA = 6,5 - 1,95$ donc SM = 4,55 m
Le point N appartient au segment [BS] donc $SN = SB - NB = 6 - 1,8$ donc SN = 4,2 m

3 - Hypothèse: Les points S, M, A et S, N, B sont alignés dans le même ordre.
$\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{4,55}{6,5}$ et $\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{4,2}{6}$
On met les fractions au même dénominateur :
$\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{4,55}{6,5} = \dfrac{4,55 \times 6}{6,5 \times 6} = \dfrac{27,3}{39}$
$\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{4,2}{6} = \dfrac{4,2 \times 6,5}{6 \times 6,5} = \dfrac{27,3}{39}$
donc $\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}$
Propriété: Réciproque de Thalès.
Conclusion: (MN) // (AB)